■サマーヴィルの等面四面体(その436)

 重正単体の2頂点が同一円周上に載るが,n=2を除き,ねじれの中心はその線上にはなく,直径は求められなかった.

 1辺の長さが1の正単体の高さは{(n+1)/2n}^1/2であるから,重心間距離は

  2/(n+1){(n+1)/2n}^1/2

={2/n(n+1)}^1/2

また,重心間のz軸方向距離は

  {6/n(n+1)(n+2)}^1/2

であるから,重心間のΣ水平方向距離^2は

 4/(n+1)^2・(n+1)/2n−6/n(n+1)(n+2)

=2/n(n+1)−6/n(n+1)(n+2)

={2(n+2)−6}/n(n+1)(n+2)

=2(n−1)/n(n+1)(n+2)

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 n=2rのとき

  ρ/l=((2r+1)/8r(r+1))^1/2

をnに戻すと

  ρ/l=((n+1)/4n(n/2+1))^1/2

  ρ/l=((n+1)/2n(n+2))^1/2

  τ/l={6/n(n+1)(n+2)}^1/2

であるから

  ρ/l=((n+1)/2n(n+2))^1/2

はτ/lをn+1倍して√12で割った値である.√12の意味は分からないが,n+1のいみはわかるような気がする.

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 また,nが偶数のとき

Σp^2(n−p+1)^2

=n(n+1)(n+2){n^2+2n+2}/60

もそれに近い形であるといえるだろう.

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