■サマーヴィルの等面四面体(その402)

P0(m√(1/2),0,m√(1/2),m,m√3,h)

P1(0,0,0,0,0,0)

P2(0,0,0,0,0,6h)

P3(m√2,m√3,0,0,0,5h)

P4(m√8,0,0,0,0,4h)

P5(m√(9/2),0,m√(9/2),0,0,3h)

P6(m√2,0,m√2,2m,0,2h)

としてみる.

P2をはずすと

  P0P1^2=5m^2+h^2

  P0P3^2=8m^2+16h^2

  P0P4^2=9m^2+9h^2

  P0P5^2=8m^2+4h^2

  P0P6^2=5m^2+h^2

  P1P3^2=5m^2+25h^2

  P1P4^2=8m^2+16h^2

  P1P5^2=9m^2+9h^2

  P1P6^2=8m^2+4h^2

  P3P4^2=5m^2+h^2

  P3P5^2=8m^2+4h^2

  P3P6^2=9m^2+9h^2

  P4P5^2=5m^2+h^2

  P4P6^2=8m^2+4h^2

  P5P6^2=5m^2+h^2

5m^2+h^2(5)<5m^2+25h^2(1)

8m^2+4h^2(4)<8m^2+16h^2(2)

9m^2+9h^2(3)

F6は

  P1P2=P2P3=P3P4=P4P5=P5P6=√6

  P1P3=P2P4=P3P5=P4P6=√10

  P1P4=P2P5=P3P6=√12

  P1P5=P2P6=√12

  P1P6=√10

であるから,

 5m^2+h^2=6,8m^2+4h^2=10

 9m^2+9h^2=12,8m^2+16h^2=12,

 5m^2+25h^2=10,m^2=7h^2

を満たす解があれば5周期充填の条件もクリアできることになる.

 h^2=1/6,m^2=7/6

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 また,P2を外した時点でP1も外れるから

P0(m√(1/2),0,m√(1/2),m,m√3,h)

P3(m√2,m√3,0,0,0,5h)

P4(m√8,0,0,0,0,4h)

P5(m√(9/2),0,m√(9/2),0,0,3h)

P6(m√2,0,m√2,2m,0,2h)

の(x,y,z,w,v)がF5を形成すればよいのであるが,

  P0P3^2=8m^2

  P0P4^2=9m^2

  P0P5^2=8m^2

  P0P6^2=5m^2

  P3P4^2=5m^2

  P3P5^2=8m^2

  P3P6^2=9m^2

  P4P5^2=5m^2

  P4P6^2=8m^2

  P5P6^2=5m^2

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