■サマーヴィルの等面四面体(その345)

 △nを最短辺(長さ√n)の方向に充填すると,周期は√n/n.また,その断面には△n-1が現れる.

 その断面の最短辺の長さはe^2=(n^2−1)/nで表される.その断面の辺の比は

  √(n−1),√2(n−2),√3(n−2),・・・

であるから,次短辺の長さは

  f^2=2(n−2)e^2/(n−1)

    =2(n+1)(n−2)/n

で表される.

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[2]△4

 Q1Q2^2=240/8^2

 Q1Q3^2=320/8^2

 Q1Q4^2=240/8^2

 Q2Q3^2=240/8^2

 Q2Q4^2=320/8^2

 Q3Q4^2=240/8^2

 (最短辺)^2−(最短辺/4)^2=e^2

 15/16・(最短辺)^2=e^2

 60/64・(最短辺)^2=240/8^2・・・(OK)

 (次短辺)^2=2・5・2/4=5=320/8^2・・・(OK)

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