■サマーヴィルの等面四面体(その339)

[1]F5

  Q1(0,0,0,0)

  Q2(9√2/10,10√3/10,−√2/10,4/10)

  Q3(18√2/10,0,−2√2/10,8/10)

  Q4=Q5(12√2/10,0,12√2/10,12/10)

  Q1Q2^2=480/10^2

  Q1Q3^2=720/10^2

  Q1Q4^2=720/10^2

  Q2Q3^2=480/10^2

  Q2Q4^2=720/10^2

  Q3Q4^2=480/10^2

すなわち,n=5の展開図の断面は,4次元等面単体のファセットになった.

  (n^2−1)/n=24/5=480/10^2・・・(OK)

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[2]F6

Q1Q2^2=1890/18^2

Q1Q3^2=3024/18^2

Q1Q4^2=3402/18^2

Q1Q5^2=3024/18^2

Q2Q3^2=1890/18^2

Q2Q4^2=3024/18^2

Q2Q5^2=3402/18^2

Q3Q4^2=1890/18^2

Q3Q5^2=3024/18^2

Q4Q5^2=1890/18^2

すなわち,n=5のときのファセットになっている.

  P0P1=P1P2=P2P3=P3P4=P4P5=√5

  P0P2=P1P3=P2P4=P3P5=√8

  P0P3=P1P4=P2P5=3

  P0P4=P1P5=√8

  P0P5=√5

  (n^2−1)/n=35/6=1890/18^2・・・(OK)

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[まとめ]Fnの断面の最短辺の長さはe^2=(n^2−1)/nで表される.

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