■サマーヴィルの等面四面体(その316)

 3次元のBCらせんの外筒となる円柱の半径は

  √(486/1800)=√(27/100)=3√3/10

となる.

 一般次元の場合も求めることができればよいのであるが,・・・

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 重正単体の2頂点が同一円周上に載ることを利用すると,ピタゴラスノ定理を使って計算できそうである.

 1辺の長さが1の正単体の高さは{(n+1)/2n}^1/2であるから,重心間距離は

  2/(n+1){(n+1)/2n}^1/2

また,重心間のz軸方向距離は

  {6/n(n+1)(n+2)}^1/2

であるから,重心間のΣ水平方向距離^2は

 4/(n+1)^2・(n+1)/2n−6/n(n+1)(n+2)

=2/n(n+1)−6/n(n+1)(n+2)

={2(n+2)−6}/n(n+1)(n+2)

=2(n−1)/n(n+1)(n+2)

 したがって,

r=(n+1)/2・{2(n−1)/n(n+1)(n+2)}^1/2

={(n+1)(n−1)/2n(n+2)}^1/2

n=2のとき,(3/16)^1/2=√3/4   (OK)

n=3のとき,(8/30)^1/2=2/√15   (NG)

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[雑感]2/√15は√(486/1800)=√(27/100)=3√3/10にかなり近い値である.微妙にねじれているのだろうか?

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