■サマーヴィルの等面四面体(その304)

 方程式tannθ=ntanθは正単体らせんのねじれ角cosξの計算に用いられる.

 λ=exp(ξi)=exp(2θi)=cosξ+isinξ

とおくと,tannθ=ntanθは

  (n−1)λ^n-2+2(n−2)λ^n-3+3(n−3)λ^n-4+・・・+(n−2)2λ+(n−1)=0

  Σ(n−ν)νλ^ν-1=0,ν=1〜n−1

 ここで,係数(n−ν)νはサマーヴィル単体の辺の長さの計算においても現れることを注意しておきたい.

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[1]2次元の場合(n=3)→2λ+2=0

[2]3次元の場合(n=4)→3λ^2+4λ+3=0

[3]4次元の場合(n=5)→4λ^3+6λ^2+6λ+4=0

[4]5次元の場合(n=6)→5λ^4+8λ^3+9λ^2+8λ+5=0

→λ=?

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[まとめ]サマーヴィルの等面四面体が正四面体に戻るまで変形させたものがBC helixである.このことをプラグラムの上でも確認したのが(その303)である.

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