ｘ^2−３ｙ^2＝−１は整数解をもたない．

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（証）　（２ｎ＋１）^2＝４ｎ（ｎ＋１）＋１＝８ｍ＋１

すなわち，奇数の平方を８で割ると１余ることになる．

　また，ｘ^2−３ｙ^2＝−１の（ｘ，ｙ）の奇偶は一致しない．

　　（奇，奇）→ｘ^2−３ｙ^2は偶数

　　（偶，偶）→ｘ^2−３ｙ^2は偶数

［１］（奇，偶）と仮定すると

　　ｘ^2を４で割ると１余る，−３ｙ^2を４で割ると割り切れる

　　ｘ^2−３ｙ^2を４で割ると１余る→右辺＝−１は不可能

［２］（偶，奇）と仮定すると

　　ｘ^2を４で割ると割り切れる，−３ｙ^2を４で割ると１余る

　　−３ｙ^2＝−３（８ｍ＋１）＝４（−６ｍ＋１）＋１

　　ｘ^2−３ｙ^2を４で割ると１余る→右辺＝−１は不可能

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