■tannθ=ntanθ

 正接の倍角公式は,

  tan2θ=2tanθ/(1−tan^2θ)

で与えられる.

 正接のn倍角公式は,パスカルの三角形を用いて,次のように書くことができる.

  tannθ=(nC1tanθ−nC3tan^3θ+nC5tan^5θ−・・・)/(nC0−nC2tan^2θ+nC4tan^4θ−・・・)

 分母・分子の係数は,2項係数の符号が対で交代するパスカルの正接三角形

            1

          1   1

        1   2   −1

      1   3   −3   −1

    1   4   −6   −4   1

  1   5  −10  −10   5   1

の形に並べることができる.ほとんどの教科書から消えてしまったが,美しい公式である.

  tan3θ=(3tanθ−tan^3θ)/(1−3tan^2θ)

  tan4θ=(4tanθ−4tan^3θ)/(1−6tan^2θ+tan^4θ)

  tan5θ=(5tanθ−10tan^3θ+tan^5θ)/(1−10tan^2θ+5tan^4θ)

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 ここでは,tannθ=ntanθを解いてみたい.

[1]n=2

  2/(1−tan^2θ)=2

  tan^2θ=0

[2]n=3

  (3−tan^2θ)/(1−3tan^2θ)=3

  tan^2θ=0

[3]n=4

  (4−4tan^2θ)/(1−6tan^2θ+tan^4θ)=4

  −4tan^2θ=−24tan^2θ+4tan^4θ

  5tan^2θ=tan^4θ

  tan^2θ=5

[4]n=5

  (5−10tan^2θ+tan^4θ)/(1−10tan^2θ+5tan^4θ)=5

  (−10tan^2θ+tan^4θ)=(−50tan^2θ+25tan^4θ)

  40tan^2θ=24tan^4θ

  tan^2θ=5/3

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