■サマーヴィルの等面四面体(その299)

 等面四面体では,3a=bとおくと,

  b^2=e^2+a^2=e^2+b^2/9

  c^2=e^2+4a^2=e^2+4b^2/9

 これより

  b^2=3c^2/4,b<c

  b=√3,c=2,a=b/3,e=√(8/3)

 正三角形の1辺の長さは等面四面体の最短辺√3より短い.

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 柱状空間充填の方向は,辺の数(n+1,2)だけあるので,その種類により異なるが,

[1]nの本体の断面は,n−1次元等面単体

[2]nの展開図の断面は,n−1次元等面単体のファセット

のものがあることが確かめられた.n=3の場合については・・・

  P0(1,0,√2)

  P1(0,0,0)

  P2(1,√2,0)

  P3(2,0,0)

  P0P1=P1P2=P2P3=√3

  P0P2=P1P3=2

  P0P3=√3

より,P1を外す

P1=P2+sP1P0=(1,√2,0)+s(1,0,√2)

より,ベクトル(1,0,√2)と直交するP1を通る平面

  x+√2z=0

Q0=Q1(0,0,0)

Q2は,y=√2

  (x−1)=z/√2=k

x=1+k,z=√2k

  x+√2z=0に代入すると

  1+k+2k=0,k=−1/3

  Q2(2/3,√2,−√2/3)

Q3は,y=0

  (x−2)=z/√2=k

x=2+k,z=√2k

  x+√2z=0に代入すると

  2+k+2k=0,k=−2/3

  Q3(4/3,0,−2√2/3)

  Q1(0,0,0)

  Q2(2/3,√2,−√2/3)

  Q3(4/3,0,−2√2/3)

  Q1Q2^2=24/9

  Q1Q3^2=24/9

  Q2Q3^2=24/9

  b=√3,c=2,a=b/3,e=√(8/3)と一致

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