ｘが素数で，２ｘ＋１がまた素数となる数ｘをソフィー・ジェルマン素数という．８９はソフィー・ジェルマン素数であるがら，２倍して１を足した数１７９も素数である．

　　２・８９＋１＝１７９

　面白いことにこの数を２倍して１を足した数３５９も素数である．したがって，１７９もソフィー・ジェルマン素数である．

　　２・１７９＋１＝３５９

　さらに，この数を２倍して１を足した数７１９も素数であり，以下同様に６個の素数列ができあがる．８９（素数）→　　

　　２・８９＋１＝１７９　　　　　（素数）

　　２・１７９＋１＝３５９　　　　（素数）

　　２・３５９＋１＝７１９　　　　（素数）

　　２・７１９＋１＝１４３９　　　（素数）

　　２・１４３９＋１＝２８７９　　（素数）

　　２・２８７９＋１＝５７５９　　（非素数）

　このような素数列をカニンガムの鎖とよぶ．素数等差数列に対して「概等比数列」である．

　１１２２６５９→２２４５３１９→４４９０６３９→８９８１２７９→１７９６２５５９→３５９２５１１９→７１８５０２３９

は７個の素数からなるカニンガムの鎖である．

　８１０．４３３，８１８，２６５，７２６，５２９，１５９から始まるカニンガムの鎖は１６個の素数からなる．

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　素数ｐの多くが２ｐ＋１も素数になるという性質を持っている．

　　５→１１→２３→４７

　ｐ≠２のとき，３ｐ＋１は素数でないから，ここでは（ｐ，２ｐ＋１，４ｐ＋１）がいずれも素数となるｐを超ソフィー・ジェルマン素数と呼ぶことにしよう．

ｐ　　　２ｐ＋１　　　　４ｐ＋１

２　　　５（素数）　　　９（合成数）

３　　　７（素数）　　　13（素数）＊

５　　　11（素数）　　　21（合成数）

７　　　15（合成数）　　29（素数）

11　　　23（素数）　　　45（合成数）

13　　　27（合成数）　　53（素数）

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　ｐ＝３は超ソフィー・ジェルマン素数であるが，

［１］ｐ＝３ｋ＋１のとき

　　２ｐ＋１＝６ｋ＋３（合成数）

　　４ｐ＋１＝１２ｋ＋５（？）

［２］ｐ＝３ｋ＋２のとき

　　２ｐ＋１＝６ｋ＋５（？）

　　４ｐ＋１＝１２ｋ＋９（合成数）

　したがって，この条件を満たすのはｐ＝３のみである．

［参］河田直樹「整数と群・環・体」現代数学社

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