■正五角形と正十七角形(その13)

 cos(π/7)は8x^3−4x^2−4x+1=0に帰着するのに対して,cos(2π/7)は8x^3+4x^2−4x−1=0に帰着する.

 係数の符号が異なるが,前者ではθ=π/7,cosθ=xとおくと

  7θ=π,4θ=π−3θ

より,

  cos4θ=−cos3θあるいはsin4θ=sin3θ

 後者では

 θ=2π/7,cosθ=xとおくと

  7θ=2π,4θ=2π−3θ

より,

  cos4θ=cos3θあるいはsin4θ=−sin3θ

となるからである.

 この事情はcos(π/5)とcos(2π/5),cos(π/9)とcos(2π/9)でも同様である.

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 cos(π/5)は4x^2−2x−1=0に帰着するのに対して,cos(2π/5)は4x^2+2x−1=0に帰着する.

 係数の符号が異なるが,前者ではθ=π/5,cosθ=xとおくと

  5θ=π,3θ=π−2θ

より,

  cos3θ=−cos2θあるいはsin3θ=sin2θ

  sin3θ=sin2θ

→−4sin^3θ+3sinθ=2sinθcosθ

→−4(1−cos^2θ)+3=2cosθ→4x^2−2x−1=0

 後者では

 θ=2π/7,cosθ=xとおくと

  5θ=2π,3θ=2π−2θ

より,

  cos3θ=cos2θあるいはsin3θ=−sin2θ

  sin3θ=−sin2θ

→−4sin^3θ+3sinθ=−2sinθcosθ

→−4(1−cos^2θ)+3=−2cosθ→4x^2+2x−1=0

となるからである.

 同様に,cos(π/7)は8x^3−4x^2−4x+1=0に帰着するのに対して,cos(2π/7)は8x^3+4x^2−4x−1=0に帰着する.

 また,x=cos(π/9)とおくと,3倍角の公式

  4x^3−3x=cos(π/3)=1/2

より,3次方程式:8x^3 −6x−1=0に帰着する.一方,x=cos(2π/9)とおくと,3倍角の公式

  4x^3−3x=cos(2π/3)=−1/2

より,3次方程式:8x^3 −6x+1=0に帰着することがわかる.

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