フィボナッチ数列の生成規則は，Ｆn ＝Ｆn-1 ＋Ｆn-2 ですが，別の方法によっても生成することができます．

　級数ｑ＋ｑ（ｑ＋ｑ^2）＋ｑ（ｑ＋ｑ^2）^2＋ｑ（ｑ＋ｑ^2）^3＋ｑ（ｑ＋ｑ^2）^4＋・・・

を考えると

＝ｑ＋ｑ^2＋２ｑ^3＋３ｑ^4＋５ｑ^5＋８ｑ^6＋１３ｑ^7＋・・・

＝ΣＦnｑ^n

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　これは

ｆ（ｘ）＝ｘ／（１−ｘ−ｘ^2）＝ΣＦnｘ^n

＝１＋ｘ＋２ｘ^2＋３ｘ^3＋５ｘ^4＋８ｘ^5＋１３ｘ^6＋・・・

において，

１／（１−ｘ−ｘ^2）＝１＋（ｘ＋ｘ^2）＋（ｘ＋ｘ^2）^2＋（ｘ＋ｘ^2）^3＋・・・

ｘ／（１−ｘ−ｘ^2）＝ｘ＋ｘ（ｘ＋ｘ^2）＋ｘ（ｘ＋ｘ^2）^2＋ｘ（ｘ＋ｘ^2）^3＋・・・

としたものであることは，すぐにおわかり頂けると思う．

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１／（１−ｘ＋ｘ^2）＝１＋（ｘ−ｘ^2）＋（ｘ−ｘ^2）^2＋（ｘ−ｘ^2）^3＋・・・の場合は，

１／（１−ｘ＋ｘ^2）＝１＋ｘ−ｘ^3−ｘ^4＋ｘ^6＋ｘ^7−ｘ^9−ｘ^10＋ｘ^12＋ｘ^13−・・・

係数は周期６をもって周期的である．

１／（１−ｘ＋ｘ^2）＝１−ｘ^3＋ｘ^6−ｘ^9＋ｘ^12−・・・

　　　　　　　　　　＋ｘ−ｘ^4＋ｘ^7−ｘ^10＋ｘ^13−・・・

となるが，これは

１／（１−ｘ＋ｘ^2）＝（１＋ｘ）／（１＋ｘ^3）＝１／（１＋ｘ^3）＋ｘ／（１＋ｘ^3）

となることに起因する．

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