五角数定理はオイラーが分割関数p(n)の研究中に発見した関数等式です（１７５０年）．オイラーの五角数定理はヤコビの三重積公式を使うとあっさり証明できるのですが，現在，五角数定理にはヤコビの三重積公式による証明やフランクリンによる組合せ的証明があります．

　五角数定理の完全な証明は，ヤコビのテータ関数や保型形式の理論の中に求められなければなりません．しかし，ヤコビを待つまでもなく，オイラーは五角数定理を証明しました．オイラーはこの定理の証明にほぼ１０年を要した（発見は１７４１年，証明は１７５０年）のですが，その間，たとえ完全な証明は与えられなくとも正しいことは間違いないことを確信していて，結果の正しさについて，微塵の疑いも抱いていなかったようです．

　オイラー自身による証明はヴェイユの「数論」に紹介されています．梅田亨先生の解説によると，今日的な眼からすれば，オイラーの証明には無限次行列に対する跡公式と呼ばれるアイディアが使われているというのですが，跡公式とは，行列Ａにおいて対角和＝固有値の和，すなわち

　　ｔｒＡ＝Σλ

の左辺が解析的，右辺が幾何学的に得られたものであるように，ある作用素の跡を２通りの方法で計算することにより得られる等式であって，作用素とはいわば無限次行列のことと考えておくとよいと思われます．

　２通りに計算するということを喩えていうならば，家計簿つけのシーンにおいて，まず行ごとの合計を求めそれを総計する，次に列ごとの合計を求めそれを総計する，そして計算が正しければその２つの計算結果は一致するはずというわけです．

　なお，オイラーの五角数定理

　　Π(1-x^n)=Σ(-1)^mx^(m(3m-1)/2))

により

　　x^(1/24)/f(x)=Σ(-1)^nx^((6n-1)^2/24)

したがって，左辺はデデキントのイータ関数の定義そのもの，また，右辺は確かにテータ級数（ベキが平方数であるような交代級数：例えば，1-x+x^4-x^9+x16-･･･）であることがわかります．

　オイラーの五角数定理は，左辺がイータ関数，右辺がテータ関数と呼ばれる保型形式の原型を与えていたので，１９世紀には，

　　デデキントのイータ関数＝ヤコビのテータ関数

すなわち，保型形式の間の等式と捉えられるようになりました．

　分割関数の母関数は本質的にモジュラー形式を与えるというわけで，さらに，１９８７年，ウィッテンにより，素粒子の超弦理論はアデール理論として捉えられたことにより，最近では素粒子の超弦理論との関連も研究されています．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝