■オイラーと約数の和関数(その1)

 σ(p)=1+p

 σ(pq)=1+p+q+pq=(1+p)(1+q)=σ(p)σ(q)

 σ(pqr)=(1+p)(1+q)(1+r)=σ(p)σ(q)σ(r)

 σ(p^2)=1+p+p^2=(p^3−1)/(p−1)

 σ(p^3)=1+p+p^2+p^3=(p^4−1)/(p−1)

はともかくとして,異常な法則を掲げておきたい.

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σ(n)=σ(n−1)+σ(n−2)−σ(n−5)−σ(n−7)

+σ(n−12)+σ(n−15)−σ(n−22)−σ(n−26)

+σ(n−35)+σ(n−40)−σ(n−51)−σ(n−57)

+σ(n−70)+σ(n−77)−σ(n−92)−σ(n−100)

+・・・

σ(0)=n,σ(負)=0とする.

[1]++−−++−−・・・

[2]右辺の数の差分をとると規則性が明らかになる.

1,2,5,7,12,15,22,26,35,40,51,57,70,77,92,100

 1 3 2 5 3 7 4 9 5 11 6 13 7 15 8

すなわち,すべての整数と奇数が交互に現れる.

[2]並べ方を変えて,差分をとると

1,5,12,22,35,51,70,92

 4 7 10 13 16 19 22

2,7,15,26,40,57,77,100

 5 8 11 14 17 20 23

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