■サマーヴィルの等面四面体(その282)

[1]四面体の体積はオイラーの公式で与えられるが,とくに等面四面体では

  72V^2=(−a^2+b^2+c^2)(a^2−b^2+c^2)(a^2+b^2−c^2)

 これは直方体への埋め込みからも証明できる.

[2]四面体の体積は包接平行六面体の1/3,内包八面体の体積はもとの四面体の1/2に等しい.

[3]外心,内心,重心,傍心は任意の四面体に存在するが,垂心は必ずしも存在しない.

 相対する辺の中点を結ぶ線分は,互いの中点で交わる.この点は四面体の重心である.

[4]各辺の中点を通って対辺に垂直な6平面は1点(モンジュ点)で交わる.

モンジュ点,重心,外心は1直線(オイラー線)上にあり,重心はモンジュ点と外心の中点である.

===================================