■ニュートンの等比数列(その1)

[Q]三項等比数列がある.各項の和は19,各項の平方和は133である.各項を求めよ.

[A]a/r+a+ar=19

   a^2/r^2+a^2+a^2r^2=133

 ここで,r+1/r=xとおくと

   a(x+1)=19

   a^2(x^2−1)=133

これより,

   a(x−1)=133/19=7

 ax=bとおくと

   b+a=19

   b−a=7

b=13,a=6,x=13/6,r=3/2または2/3

三項は4,6,9

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[Q]四項等比数列がある.両端の二項の和は13,中央の二項の和は4である.各項を求めよ.

[A]a(1/r^3+r^3)=13

   a(1/r+r)=4

 ここで,r+1/r=xとおくと

   ax=4

   ax(x^2−3)=13

これより,

   4(x^2−3)=13→x^2=13/4+3→x=5/2

   a=8/5→r+1/r=5/2

   2r^2−5r+2=0→r=2または1/2

四項は1/5,4/5,16/5,64/5

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