■ある無限級数(その90)

[Q]

1/1・2+1/2・3+1/3・4+1/4・5+・・・=?

1/1・2・3+1/2・3・4+1/3・4・5+1/4・5・6+・・・=?

1/1・2・・・(r−1)・r+1/2・3・・・r(r+1)+1/3・4・・・(r+1)(r+2)+1/4・5・・・(r+2)(r+3)+・・・=?

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 (その84)より

1/1=1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+・・・+1/n(n+1)+・・・=Σ1/n(n+1)であるが,ライプニッツの調和三角形の一般項は1/(n+1)(n,r)になっていて,

1/1=1/(1+1)(1,0)+1/(2+1)(2,1)+1/(3+1)(3,2)+・・・

1/2=1/3+1/12+1/30+1/60+1/105+・・・

=1/(2+1)(2,0)+1/(3+1)(3,1)+1/(4+1)(4,2)+・・・

1/3=1/4+1/20+1/60+1/140+1/280+・・・

=1/(3+1)(3,0)+1/(4+1)(4,1)+1/(5+1)(5,2)+・・・

 したがって,

1/1・2+1/2・3+1/3・4+1/4・5+・・・=1/1

1/1・2・3+1/2・3・4+1/3・4・5+1/4・5・6+・・・=1/2・1/2!

1/1・2・・・(r−1)・r+1/2・3・・・r(r+1)+1/3・4・・・(r+1)(r+2)+1/4・5・・・(r+2)(r+3)+・・・=1/(r−1)・1/(r−1)!

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