チェビシェフの定理はｎ＜ｐ≦２ｎを満たす素数が少なくともひとつ存在することを示しているが，実際にはどれくらいあるのだろうか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】フィンスラーの定理（ｘ≧２）

　ｘ／（３ｌｏｇ２ｘ）＜π（２ｘ）−π（ｘ）＜７ｎ／（５ｌｏｇｘ）

　この定理の左半分の不等式

　　ｆ（ｘ）＝ｘ／（３ｌｏｇ２ｘ）＜π（２ｘ）−π（ｘ）

において，

　　ｆ’（ｘ）＝（ｌｏｇ２ｘ−１）／３（ｌｏｇ２ｘ）^2＞０・・・単調増加

　ｘ＝２^4のとき，ｆ（ｘ）＝ｘ／（３ｌｏｇ２ｘ）

＝１６／１５ｌｏｇ２＞１

ｘ≧１６のとき，２≦π（２ｘ）−π（ｘ）

すなわち，ｘ＜ｐ≦２ｘを満たす素数は少なくとも２個存在する．

　さらに，ｘ≧６のときは実際に，

　　２≦π（２ｘ）−π（ｘ）

が確かめられるので，ｘ≧６のとき，２≦π（２ｘ）−π（ｘ），すなわち，ｎ＜ｐ≦２ｎを満たす素数は少なくとも２個存在することが示された．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　また，チェビシェフの定理は

　　ｐn+1＜２ｐn　　（ｎ≧１）

であるが，

　　ｐn+2≦ｐn＋ｐn+1　　（ｎ≧２）が成り立つ．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝