ここではｘ^2＋１の素因数の性質をみていくことにする．とりあえず，０≦ｘ≦１０の範囲で調べると・・・

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［１］ｘ＝１，ｘ^2＋１＝２

［２］ｘ＝２，ｘ^2＋１＝５

［３］ｘ＝３，ｘ^2＋１＝１０＝２・５

［４］ｘ＝４，ｘ^2＋１＝１７

［５］ｘ＝５，ｘ^2＋１＝２６＝２・１３

［６］ｘ＝６，ｘ^2＋１＝３７

［７］ｘ＝７，ｘ^2＋１＝５０＝２・５^2

［８］ｘ＝８，ｘ^2＋１＝６５＝５・１３

［９］ｘ＝９，ｘ^2＋１＝８２＝２・４１

［10］ｘ＝10，ｘ^2＋１＝１０１

　素因数をまとめると

　　２，５，１３，１７，３７，４１，１０１

４で割った余りは

　　２，１，１，１，１，１，１

奇数の素因数に限ると，すべて４で割った余りが１になる．すなわち，４ｎ＋１型素数である（第１補充則）．

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