■葉序らせん(その133)

 (その132)はうまくいかなかった.

 「四面体の底面を正三角形BCDとし,頂点をAとします.ABが1でない辺です.この四面体の側面ACD(正三角形)に次の四面体の底面を載せます。二番目の底面は頂点順でCDBが対応します.この繰り返しです.軸方向から見た目はすべての頂点が同一円周上にあるように見えます」

 このような問題にこそ,座標軸が重要になると思われる.

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  A(x,0,b)

  B(x,0,−b)

  C(−x,1/2,0)

  D(−x,−1/2,0)

  E(α,β,γ)

AC^2=AD^2=4x^2+1/4+b^2=1

AB^2=4b^2,BC^2=BD^2=1

CE^2=4b^2,AE^2=DE^2=1

 Bから△ACDに下ろした垂心H(X,Y,Z)を求めなければならない.正三角形を底面としてその高さをHとすると

  (4b^2−H^2)^1/2+(3/4−H^2)^1/2=√3/2

  (4b^2−H^2)+(3/4−H^2)+2(4b^2−H^2)^1/2(3/4−H^2)^1/2=3/4

  (2b^2−H^2)+(4b^2−H^2)^1/2(3/4−H^2)^1/2=0

  (4b^2−H^2)(3/4−H^2)=H^4−4b^2H^2+4b^4

  3b^2−4b^2H^2−3H^2/4+H^4=H^4−4b^2H^2+4b^4

  3b^2−3H^2/4=4b^4,3b^2−4b^4=3H^2/4

  H^2=4b^2−16b^4/3

  (4b^2−H^2)^1/2=4b^2/√3

  (3/4−H^2)^1/2=3/4−4b^2+16b^4/3

 HはAとCDの中点を結んだ直線上でAから4b^2/√3の距離にある.

b=1/2のとき,√3/3であるからOK.

  A(x,0,b)

  B(x,0,−b)

  C(−x,1/2,0)

  D(−x,−1/2,0)

  M(−x,0,0)

  AM(−2x,0,−b)

Mのとき1になるように定めると

  (X−x)/(−2x)=(Z−b)/(−b)=k

k=(4b^2/√3)/(√3/2)=8b^2/3より,H(X,Y,Z)が求められる.

 さらに,IはCとADの中点を結んだ直線上でCから4b^2/√3の距離にある.

  A(x,0,b)

  B(x,0,−b)

  C(−x,1/2,0)

  D(−x,−1/2,0)

  M(0,−1/4,b/2)

  CM(x,−3/4,b/2)

Mのとき1になるように定めると

  (X+x)/x=(Y−1/2)/(−3/4)=(Z)/(b/2)=k

k=(4b^2/√3)/(√3/2)=8b^2/3より,I(X,Y,Z)が求められる.

J=(H+I)/2とおくと,

E(α,β,γ)はB+2BJ=F(α,β,γ)で与えられる.

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