■葉序らせん(その85)

 F(α,β,γ)の計算は以下の通りである.

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 Bから△ACDに下ろした垂心H(X,Y,Z)を求めなければならない.正三角形を底面としてその高さをHとすると

  (4b^2−H^2)^1/2+(3/4−H^2)^1/2=√3/2

  (4b^2−H^2)+(3/4−H^2)+2(4b^2−H^2)^1/2(3/4−H^2)^1/2=3/4

  (2b^2−H^2)+(4b^2−H^2)^1/2(3/4−H^2)^1/2=0

  (4b^2−H^2)(3/4−H^2)=H^4−4b^2H^2+4b^4

  3b^2−4b^2H^2−3H^2/4+H^4=H^4−4b^2H^2+4b^4

  3b^2−3H^2/4=4b^4,3b^2−4b^4=3H^2/4

  H^2=4b^2−16b^4/3

  (4b^2−H^2)^1/2=4b^2/√3

  (3/4−H^2)^1/2=3/4−4b^2+16b^4/3

 HはAとCDの中点を結んだ直線上でAから4b^2/√3の距離にある.

b=1/2のとき,√3/3であるからOK.

  A(0,0,b)

  B(0,0,−b)

  C(0,h,0)

  D(x,y,0)

  M(x/2,(y+h)/2,0)

  AM(x/2,(y+h)/2,−b)

  (X)/(x/2)=Y/(y+h)/2=(Z−b)/(−b)=k

k=(4b^2/√3)/(√3/2)=8b^2/3より,H(X,Y,Z)が求められる.

F(α,β,γ)はB+2BHで与えられる.

BH=(X,Y,Z+b)

2BH=(2X,2Y,2Z+2b)

B+2BH=(2X,2Y,2Z+b)=F(α,β,γ)

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