中心Ｏ，半径ｒの円がある．Ｐ（ｘ，ｙ）として，半直線ＯＰ上に

　　ＯＰ・ＯＱ＝ｒ^2

となるＱ（Ｘ，Ｙ）を円に関する反転という．（ｒ＝１のとき，単位円に関す

る反転）

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［１］単位円に関する反転

　　（Ｘ，Ｙ）＝ｋ（ｘ，ｙ）

ＯＰ・ＯＱ＝１の場合

　　（ｘ^2＋ｙ^2）（Ｘ^2＋Ｙ^2）＝１

　　（ｘ^2＋ｙ^2）（ｋ^2ｘ^2＋ｋ^2ｙ^2）＝１

　　ｋ＝１／（ｘ^2＋ｙ^2）

より，

　　（Ｘ，Ｙ）＝（ｘ／（ｘ^2＋ｙ^2），ｙ／（ｘ^2＋ｙ^2））

　　（ｘ，ｙ）＝（Ｘ／（Ｘ^2＋Ｙ^2），Ｙ／（Ｘ^2＋Ｙ^2））

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［２］直角双曲線の単位円に関する反転

　直角双曲線をｘ^2−ｙ^2＝１／２ａ^2とする．

　（ｘ，ｙ）＝（Ｘ／（Ｘ^2＋Ｙ^2），Ｙ／（Ｘ^2＋Ｙ^2））を代入すると

　　（Ｘ^2＋Ｙ^2）^2＝２ａ^2（Ｘ^2−Ｙ^2）

レムニスケートが得られる．

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［３］直角双曲線の単位円に関する反転

　直角双曲線をｘ^2−ｙ^2＝１／２ａ^2とする．このパラメータ表示は

　　γ（ｔ）＝（ｃｏｓｈｔ／ａ√２，ｓｉｎｈｔ／ａ√２）

　ｅｘｐ（ｔ）＝１／ｓとおいて，反転すると

Ｘ＝（１／ｓ＋ｓ）／２ａ√２

Ｙ＝（１／ｓ−ｓ）／２ａ√２

（Ｘ^2＋Ｙ^2）＝｛（１／ｓ＋ｓ）／２ａ√２｝^2＋｛（１／ｓ−ｓ）／２ａ√２｝^2より，

　　（ａ√２ｓ（１＋ｓ^2）／（１＋ｓ^4），ａ√２ｓ（１−ｓ^2）／（１＋ｓ^4）

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