■有界な単調数列(その2)

  an=(1+1/n)^n

  2≦(1+1/n)^n<3

  (1+1/n)^n→e

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[1]単調増加であることを示したい.二項定理より

  an=1+n・1/n+(n,2)(1/n)^2+・・・+(n,n)(1/n)^n

=1+1+n(n−1)/2!n^2++n(n−1)(n−2)/3!n^3+・・・+n(n−1)・・・+1/n!n^n

=1+1+(1−1/n)/2!+(1−1/n)(1−2/n)/3!+・・・+(1−1/n)(1−2/n)・・・(1−(n−1)/n)/n!

<1+1+(1−1/(n+1))/2!+・・・+(1−1/(n+1))(1−2/(n+1))/3!+(1−1/(n+1))(1−2/(n+1))+・・・(1−(n−1)/(n+1))/n!+(1−1/(n+1))(1−2/(n+1))+・・・+n/(n+1))/(n+1)!

=an+1

[2]an<3であることを示したい.

  an≦1+1/1!+1/2!+1/3!+・・・+1/n!

また,2^n-1≦n!より,n>3のとき

  an<1+1/1!+1/2!+1/2^2+・・・+1/2^n-1

=1+1/1!+1/2!+1/2^2(1+1/2+1/2^2+・・・+1/2^n-3)

(1+1/2+1/2^2+・・・+1/2^n-3)→2より

  an<1+1/1!+1/2!+1/2=3

[3]an<2+11/12であることを示したい.

  an≦1+1/1!+1/2!+1/3!+・・・+1/n!

また,2^n-1≦n!より,n>4のとき

  an<1+1/1!+1/2!+1/3!+1/2^3+・・・+1/2^n-1

  an<1+1/1!+1/2!+1/3!+1/2^3(1+1/2+1/2^2+・・・+1/2^n-4)

<1+1/1!+1/2!+1/3!+2/8

<1+1+1/2+1/6+2/8=2+11/12

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