■葉序らせん(その71)

 (その70)をさらに進めるためには,E(α,β,γ)が必要になる.

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 Aから△BCDに下ろした垂心H(X,Y,Z)を求めなければならない.正三角形を底面としてその高さをHとすると

  (4b^2−H^2)^1/2+(3/4−H^2)^1/2=√3/2

  (4b^2−H^2)+(3/4−H^2)+2(4b^2−H^2)^1/2(3/4−H^2)^1/2=3/4

  (2b^2−H^2)+(4b^2−H^2)^1/2(3/4−H^2)^1/2=0

  (4b^2−H^2)(3/4−H^2)=H^4−4b^2H^2+4b^4

  3b^2−4b^2H^2−3H^2/4+H^4=H^4−4b^2H^2+4b^4

  3b^2−3H^2/4=4b^4,3b^2−4b^4=3H^2/4

  H^2=4b^2−16b^4/3

  (4b^2−H^2)^1/2=4b^2/√3

  (3/4−H^2)^1/2=3/4−4b^2+16b^4/3

 HはDとBCの中点を結んだ直線上でDから4b^2/√3の距離にある.

b=1/2のとき,√3/3であるからOK.

  A(x,0,−b)

  D(x,0,b)

  C(−x,1/2,0)

  B(−x,−1/2,0)

  M(−x,0,0)

  DM(−2x,0,−b)

  (X−x)/(−2x)=(Z−b)/(−b)=k

k=(4b^2/√3)/(√3/2)=8b^2/3より,H(X,Y,Z)が求められる.Y=0

E(α,β,γ)はA+2AHで与えられる.

AH=(X−x,Y,Z+b)

2AH=(2X−2x,2Y,2Z+2b)

A+2AH=(2X−x,2Y,2Z+b)=E(α,β,γ)

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  A(x,0,−b)

  D(x,0,b)

  C(−x,1/2,0)

  B(−x,−1/2,0)

  E(α,β,γ)

  A(x,bs,−bc)

  D(x,−bs,bc)

  C(−x,c/2,s/2)

  B(−x,−c/2,−s/2)

  E(α,βc−γs,βs+γc)

  O(ξ,0,0)

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[まとめ]かえって計算が面倒になった.

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