【２】ウォルステンホルムの定理の別証明

　（ｐ−１）！とｐは互いに素であるから

　　Ｓ＝（ｐ−１）！（１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１））

がｐ^2で割り切れることと

　　１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）＝０　　（ｍｏｄ　ｐ^2）

は同値である．

　ｍｏｄ算術を扱う場合，１／２のような数はある整数と同値である．たとえば，

　　１／２＝６／２＝３　　（ｍｏｄ　５）

　　１＋１／２＋１／３＋１／４＝１＋１３＋１７＋１９＝０　　（ｍｏｄ　２５）

　素数ｐによる整除性ではなく，素数の平方ｐ^2による整除性なのでかなり難しい問題である．そこで，素数による整除性の問題に帰着させてより解きやすいものにしたい．そこでまず

　　１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）＝０　　（ｍｏｄ　ｐ）

を証明するしよう．

　　１＋１／２＋１／３＋１／４＝１＋３＋２＋４＝０　　（ｍｏｄ　５）

であるが，

　　４＝−１，３＝−２　　（ｍｏｄ　５）

を使えば，

　　１＋１／２＋１／３＋１／４＝１−２＋２−１＝０　　（ｍｏｄ　５）

同様に，

　　ｐ−１＝−１，ｐ−２＝−２，・・・　　（ｍｏｄ　ｐ）

であるから

　　１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）＝０　　（ｍｏｄ　ｐ）

を証明することができる．

　次に，１／１と１／（ｐ−１），１／２と１／（ｐ−２），・・・をペアに組ませると

　　１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）　　（ｍｏｄ　ｐ^2）

　＝１＋１／（ｐ−１）＋１／２＋１／（ｐ−１）＋・・・＋１／（ｐ−１）／２＋１／（（ｐ＋１）／２）

　＝ｐ（１／（ｐ−１）＋１／２（ｐ−２）＋・・・＋１／（ｐ−１）／２＋（ｐ＋１）／２）　　（ｍｏｄ　ｐ^2）

　したがって，

　１／（ｐ−１）＋１／２（ｐ−２）＋・・・＋１／（ｐ−１）／２＋（ｐ＋１）／２＝０　　（ｍｏｄ　ｐ）

　　ｐ−１＝−１，ｐ−２＝−２，・・・　　（ｍｏｄ　ｐ）

であるから，

　１／１^2＋／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／（ｐ−１）^2＝０　　（ｍｏｄ　ｐ）

が成り立つことをを示しさえすればよい．

　１／１^2＋／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／（ｐ−１）^2＝１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋（ｐ−１）^2＝（ｐ−１）ｐ（２ｐ−１）／６＝０　　（ｍｏｄ　ｐ）

となって証明了．

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