■ベキ和の公式の整除性(その14)

 ベキ和の公式

  Σk^s=1^s+2^s+3^s+・・・+n^s

がnのs+1次の多項式になる.また,すべてのΣk^sはn(n+1)を因数として含む.

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[1]s+1次の係数は1/(s+1),s次の係数は1/2

[2]s−1次の係数は欠けない.

[3]s−3,s−5,s−7,・・・次の係数は欠けない.

[4]s−2,s−4,s−6,・・・次の係数は欠落.

 これより,

  Σk^s=1^s+2^s+3^s+・・・+n^s

=n^s+1/(s+1)+n^s/2+p/2・An^s-1+p(p−1)(p−2)/4!・Bn^s-3+p(p−1)(p−2)(p−3)(p−4)/6!・Cn^s-5+・・・

 A=1/6,B=−1/30,C=1/42

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