■ベキ和の公式の整除性(その8)

S1=Σk=n(n+1)/2

S2=Σk^2=n(n+1)(2n+1)/6

S3=Σk^3=n^2(n+1)^2/4

が多くの読者にとってお馴染みの公式であろう.さらに,

S4=Σk^4=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n−1)/30

S5=Σk^5=n^2(n+1)^2(2n^2+2n−1)/12

S6=Σk^6=n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3−3n+1)/42

S7=Σk^7=n^2(n+1)^2(3n^4+6n^3−n^2−4n+2)/24

S8=Σk^8=n(n+1)(2n+1)(5n^6+15n^5+5n^4−15n^3−n^2+9n−3)/90

と続く.

 なお,ベルヌーイ多項式の最初のいくつかは

  B0(x)=1

  B1(x)=x−1/2

  B2(x)=x^2−x+1/6

  B3(x)=x^3−3x^2/2+x/2

  B4(x)=x^4−2x^3+x^2−1/30

  B5(x)=x^5−5x^4/2+5x^3/3−x/6

  B6(x)=x^6−3x^5+5x^4/2+x^2/2+1/42

  B7(x)=x^7−7x^6/2+7x^5/2+7x^3/6+x/6

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 ファウルハーバーは,ベキ和の公式

  Ss=Σk^s=1^s+2^s+3^s+・・・+n^s

において,s=17まで計算して,

[1]sが奇数のとき,SsはS1の多項式で表されることを見出し,

[2]sが偶数のときもこのことが成り立つと予想した.

 ヤコビはファウルハーバーの予想を証明し,

[3]sが偶数のときSsはS2で割り切れ,さらに

[4]Ss/S2はS1の多項式で表されることを示した.

たとえば,

  S3=S1^2

  S4=S2(6S1−1)/5

  S5=(4S1^3−S1^2)/3

  S6=S2(12S1^2−6S1+1)/7

 sが偶数のときn(n+1)(2n+1)(多項式)/(整数),1以外の奇数のときn^2(n+1)^2(多項式)/(整数)と書くことができる.また,Σk^sは(s+1)次の多項式になり,最高次数の係数は1/(s+1)となる.

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[Q1]SsはS1で割り切れることを示せ.

  Ss(x+1)−Ss(x)=(x+1)^s

  Ss(0)=0→Ss(−1)=0

したがって,Ssはx(x+1)で割り切れる.

[Q2]sが偶数の場合,SsはS2で割り切れることを示せ.

  S2n(x)=B2n+1(x+1)/(2n+1)

  S2n(−1/2)=B2n+1(1/2)/(2n+1)

  B2n+1(1/2)=0→S2n(−1/2)=0

したがって,S2nは2x+1で割り切れる.[Q1]と併せて,

  S2nはx(x+1)(2x+1)で割り切れる.

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