■対称多項式入門
組合せ論の基本的な道具は「分割」，「母関数」，「対称関数（多項式）」である．このうち「分割」と「母関数」についてはコラム「母関数と整数の分割」に記したので，今回のコラムでは「対称関数（多項式）」を取り上げて説明することにしたい．
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【１】基本対称式
対称式の基本定理より，ｎ変数のどんな対称式も基本対称式を用いて表すことができる．たとえば，２変数の場合，
α1^2＋α2^2＝（α1＋α2）^2−２α1α2
α1^3＋α2^3＝（α1＋α2）^3−３（α1＋α2）α1α2
α1^2α2＋α1α2^2＝（α1＋α2）α1α2
など．
次に，ｎ変数対称式：
ｐj＝α1^j＋α2^j＋・・・＋αn^j
を基本対称式：
σ1＝α1＋・・・＋αn
σ2＝α1α2＋・・・＋αn-1αn
σ3＝α1α2α3＋・・・＋αn-2αn-1αn
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
σn＝α1α2α3・・・αn
を用いて表してみることにしよう．
ｆ（ｔ）＝Π（１＋ｔαi）＝１＋σ1ｔ＋σ2ｔ^2＋・・・＋σnｔ^n
とおくと，
f'(t)/f(t)=d/dtlogf(t)=Σαi／（１＋ｔαi）=ΣΣ(-1)^kαi^(k+1)t^k
=Σ(-1)^kｐ(k+1)t^k
ゆえに，
ｆ’（ｔ）＝ｆ（ｔ）Σ(-1)^kｐ(k+1)t^k
となり，
σ1＋２σ2ｔ＋・・・＋ｎσnｔ^(n-1)
＝（１＋σ1ｔ＋σ2ｔ^2＋・・・＋σnｔ^n）（ｐ1−ｐ2ｔ＋ｐ3ｔ^2−・・・）
両辺の係数を比較することによって，順次
ｐ1＝σ1
ｐ2＝σ1ｐ1−２σ2
ｐ3＝σ1ｐ2−σ2ｐ1＋３σ3
・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ｐ(k+1)＝σ1ｐk−σ2ｐ(k-1)＋・・・＋(-1)^(k-1)σkｐ1＋(-1)^k（ｋ＋１）σ(k+1)
が得られる．このことから「α1，α2，・・・，αnの基本対称式は，累乗和：α1^j＋α2^j＋・・・＋αn^jの有理数を係数とする整式で表される」という結果が導き出される（ニュートンの定理）．
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ここで述べた定理はニュートンに拠るとされるものであるが，このことから逆に，ｎ次方程式：
ｆ（ｘ）＝ｘ^n＋ａ1ｘ^(n-1)＋・・・＋ａn＝Π（ｘ−αi）＝０
が与えられたとき，累乗和
ｐ1＝α1＋・・・＋αn
ｐ2＝α1^2＋α2^2＋・・・＋αn^2
・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ｐn＝α1^n＋α2^n＋・・・＋αn^n
を根とする方程式の係数を導出することができる．したがって，もし係数ａ1，・・・，ａnがすべて有理数（整数）なら，求める方程式の係数もまたみな有理数（整数）となる．
アーベルは「ニュートンの定理」を援用して方程式論を形成したことになるといえるだろう．アーベルは５次以上の一般代数方程式がベキ根によっては解けない（５次以上の方程式には，係数の間の四則と累乗根を使って表す根の公式はない）ことを初めて証明したノルウェーの数学者である．
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ｒ次の基本対称式（の総和）σrについては，不等式
σr-1σr+1≦σr^2 (1<=r<n)
が成り立つことが知られている．
また，
Π（１＋ｔαi）＝１＋σ1ｔ＋σ2ｔ^2＋・・・＋σnｔ^n
＝１＋nＣ1ｃ1ｔ＋nＣ2ｃ2ｔ^2＋・・・＋σnｔ^n
と表すと，
ｃr＝σn／nＣr
すなわち，ｒ次の基本対称式の平均である．
ｃrは
σr-1σr+1≦σr^2 (1<=r<n)
よりも強い，次のような不等式を満たす．
(1)：ｃr-1ｃr+1≦ｃr^2 (1<=r<n) （ニュートンの定理）
(2)：ｃ1≧ｃ2^(1/2)≧ｃ3^(1/3)≧・・・≧ｃn^(1/n)
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【２】対称式とヤング図形
対称式の計算は，ヤング図形を用いて見通しよく行うことができる．この節の目的はヤング図形を用いて対称式のかけ算を見通しよく行うことであるが，その計算法はヤング図形のテンソル積で定義される．
とはいっても，具体的な方法については割愛せざるを得ないのだが，
［参］硲文夫「代数学」森北出版
に非常にわかりやすい解説があるので，それをご覧頂きたい．
さて，対称式の基本定理より，ｎ変数のどんな対称式も基本対称式を用いて表すことができる．たとえば，２変数の場合，
α1^2＋α2^2＝（α1＋α2）^2−２α1α2
α1^3＋α2^3＝（α1＋α2）^3−３（α1＋α2）α1α2
α1^2α2＋α1α2^2＝（α1＋α2）α1α2
など．
２変数の場合，α1＋α2やα1α2が基本対称式であるが，ｎ変数の場合の基本対称式は
σ1＝ｘ1＋・・・＋ｘn （項数nＣ1）
σ2＝ｘ1ｘ2＋・・・＋ｘn-1ｘn （項数nＣ2）
σ3＝ｘ1ｘ2ｘ3＋・・・＋ｘn-2ｘn-1ｘn （項数nＣ3）
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
σn＝ｘ1ｘ2ｘ3・・・ｘn （項数nＣn）
となる．
単項式
ｘ1^a1ｘ2^a2・・・ｘn^an （a1≧a2≧･･･≧an≧0）
において，ｘ1，ｘ2，・・・，ｘnを置換して加えて得られる多項式を
(a1a2･･･an)
と表すことにする．
この記号を用いると
σ1＝ｘ1＋・・・＋ｘn＝[1,0,0,･･･,0]＝(1)
σ2＝ｘ1ｘ2＋・・・＋ｘn-1ｘn＝[1,1,0,･･･,0]＝(11)＝(1^2)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
σn＝ｘ1ｘ2ｘ3・・・ｘn＝[1,1,1,･･･,1]＝(111･･･1)=(1^n)
のように表すことができる．０はあってもなくても同じものを表している．
また，この記号の表す式は変数の個数ｎが決まれば一意に定まる．しかし，逆にいうとｎが変わると異なり，たとえば，(41)は，ｎ＝２のとき
(41)＝ｘ1^4ｘ2＋ｘ1ｘ2^4
であるが，ｎ＝３のときは
(41)＝ｘ1^4ｘ2＋ｘ1^4ｘ3＋ｘ2^4ｘ1＋ｘ2^4ｘ3＋ｘ3^4ｘ1＋ｘ3^4ｘ2
となる．
(41)のヤング図形は
□□□□
□
で表されるのだが，任意の対称式は基本対称式を用いて表すことができるという「対称式の基本定理」は，任意のヤング図形を
(1),(1^2),(1^3),(1^4),･･･
すなわち
□，□，□，□，・・・
□ □ □
□ □
□
で表せるということと同値である．
(41)，すなわち
□□□□
□
の場合は
□｜□｜□｜□
□｜
のように縦に切り分けて，分けたもの同士のかけ算を行うことになる．
そこで（ほとんど説明なしにではあるが）
［参］硲文夫「代数学」森北出版
に掲載されているヤング図形とテンソル積の計算例を紹介しておきたい．
たとえば，ヤング図形のテンソル積を用いると
□×□＝□□＋３□
□ □ □
□
すなわち，
(1^2)×(1)＝(21)+3(1^3)
となるのだが，これはｎ＝２のとき
ｘ1ｘ2（ｘ1＋ｘ2）＝ｘ1^2ｘ2＋ｘ1ｘ2^2
ｎ＝３のとき
（ｘ1ｘ2＋ｘ1ｘ3＋ｘ2ｘ3）（ｘ1＋ｘ2＋ｘ3）＝ｘ1^2ｘ2＋ｘ1^2ｘ3＋ｘ2^2ｘ1＋ｘ2^2ｘ3＋ｘ3^2ｘ1＋ｘ3^2ｘ2）＋３ｘ1ｘ2ｘ3
ｎ＝４のとき
（ｘ1ｘ2＋ｘ1ｘ3＋ｘ1ｘ4＋ｘ2ｘ3＋ｘ2ｘ4＋ｘ3ｘ4）（ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4）＝ｘ1^2ｘ2＋ｘ1^2ｘ3＋ｘ1^2ｘ4＋ｘ2^2ｘ1＋ｘ2^2ｘ3＋ｘ2^2ｘ4＋ｘ3^2ｘ1＋ｘ3^2ｘ2＋ｘ3^2ｘ4＋ｘ4^2ｘ1＋ｘ4^2ｘ2＋ｘ4^2ｘ3＋３（ｘ1ｘ2ｘ3＋ｘ1ｘ2ｘ4＋ｘ1ｘ3ｘ4＋ｘ2ｘ3ｘ4）
を意味していて，
(1^2)×(1)＝(21)+3(1^3)
が「変数の数によらず常に成り立つ」ことを示している．
このテンソル積は一般化することができて
(1^3)×(1)＝(21^2)+4(1^4)
(1^n)×(1)＝(21^(n-1))+(n+1)(1^(n+1))
また，ここで得られた
(21)=(1^2)×(1)-3(1^3)
はヤング図形を基本対称式を用いて表したものと考えることができるが，一般の場合に拡大していくことができる．ヤング図形は対称式の基本定理の証明にも用いられるというわけである．
なお，１９６８年，ヤング図形と同様の図形があるゲームに関連して佐藤幹夫先生によって導入され，マヤ図形と呼ばれている．
［参］野海正俊「パンルヴェ方程式」朝倉書店
には，ヤング図形と１：１対応するマヤ図形についての解説もあるので，併せて読まれるとよいであろう．
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【３】分割と基本的な対称多項式
非負整数の非増加列，すなわち，
λ＝（λ1，λ2，・・・，λn）
λ1≧λ2≧・・・≧λn＞０
なる整数列を分割（partition）という．分割はλ＝（λ1，λ2，・・・，λn）でパラメトライズされるわけであるが，分割λに対して
｜λ｜＝Σλi
を分割λのサイズ，λiが零でないｉの総数をｌ（λ）と書いて分割λの長さという．
次に，分割の集合に自然な順序を定義したい．λ≧μとは
｜λ｜＝｜μ｜
かつすべてのｉに対して
λ1＋・・・＋λi≧μ1＋・・・＋μn
が成り立つこととする．
すると
(2)>(1^2)
(3)>(21)>(1^3)
(4)>(31)>(2^2)>(21^2)>(1^4)
(5)>(41)>(32)>(31^2)>(2^21)>(21^3)>(1^5)
(6)>(51)>(42)>(41^2)>(321)>(31^3)>(2^21^2)>(21^4)>(1^6)
>(3^2)> >(2^3)>
となって｜λ｜≦５の場合には全順序（辞書式順序）であるが，｜λ｜≧６の場合は半順序となることが理解される．
分割λに対応する単項対称多項式（モノミアル対称多項式）を
ｍλ（ｘ）＝Σｘ1^α1・・・ｘn^αn
により定義する．ただし，この和はλ＝（λ1，λ2，・・・，λn）の入れ替えで生じる単項式すべてを動くものとする．すなわち，単項対称多項式は単項式ｘ1^α1・・・ｘn^αnの線形結合をとって得られる対称化多項式である．
｜λ｜＝３，ｎ＝３とすれば
ｍ(3)（ｘ）＝ｘ1^3＋ｘ2^3＋ｘ3^3
ｍ(21)（ｘ）＝ｘ1^2ｘ2＋ｘ1^2ｘ3＋ｘ2^2ｘ1＋ｘ2^2ｘ3＋ｘ3^2ｘ1＋ｘ3^2ｘ2
ｍ(1^3)（ｘ）＝ｘ1ｘ2ｘ3
また，ベキ和対称関数をｒ次のベキ和
ｐr＝Σｘ^r＝ｍ(r)（ｘ）
と分割λ＝（λ1，λ2，・・・）に対して
ｐλ＝ｐλ1ｐλ2・・・＝Πｐλi
と定義すると，ｎ＝３の場合，
ｐ(3)（ｘ）＝ｘ1^3＋ｘ2^3＋ｘ3^3
ｐ(21)（ｘ）＝（ｘ1^2＋ｘ2^2＋ｘ3^2）（ｘ1＋ｘ2＋ｘ3）
ｐ(1^3)（ｘ）＝（ｘ1＋ｘ2＋ｘ3）^3
のようになる．
さらに，ヤング図形の縦１列に対応する場合がｒ次の基本対称式
ｅr（ｘ）＝σr＝ｍ(1^r)
ヤング図形の横１列に対応する場合がｒ次の完全（同次）対称多項式
ｈr（ｘ）＝Σｍλ（ｘ） ｜λ｜＝ｒ
であるが，ｅλ（ｘ），ｈλ（ｘ）についてもベキ和対称多項式の場合と同様に定義する．
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【４】シューア対称多項式
いくつかの対称関数を定義したが，ここでは最も重要な対称多項式であるシューア対称多項式を導入する．
シューア対称多項式ｓλ（ｘ）は，ｎ個の変数ｘ＝（ｘ1，ｘ2，・・・，ｘn）が与えられたとき，ｌ（λ）≦ｎなる分割に対して定義されるｎ変数対称多項式で，次のような行列式の比として定義される．
ｓλ（ｘ）＝ｄｅｔ（ｘi^(λj+n-j)）／ｄｅｔ（ｘi^(n-j)）
ｄｅｔ（ｘi^(n-j)）＝ ｜ｘ1^(n-1) ｘ1^(n-2)・・・ｘ1^0｜
｜ｘ2^(n-1) ｘ2^(n-2)・・・ｘ2^0｜
｜・・・・・・・・・・・・・・・｜
｜ｘn^(n-1) ｘn^(n-2)・・・ｘn^0｜
ｄｅｔ（ｘi^(λj+n-j)）＝ ｜ｘ1^(λ1+n-1) ｘ1^(λ2+n-2)・・・ｘ1^λn｜
｜ｘ2^(λ1+n-1) ｘ2^(λ2+n-2)・・・ｘ2^λn｜
｜・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・｜
｜ｘn^(λ1+n-1) ｘn^(λ2+n-2)・・・ｘn^λn｜
分母はファンデルモンド行列式だから，差積Π（ｘi−ｘj）に等しい．
ｄｅｔ（ｘi^(n-j)）＝Π（ｘi−ｘj）
また，分子はｘの交代式なので，差積で割り切れて全体として対称多項式になる．したがって，ｓλ（ｘ）は｜λ｜＝Σλi次の斉次対称式となる．ｌ（λ）＞ｎに対してはｓλ＝０と約束する．
ｎ＝３の場合，定義にしたがって計算すれば
ｓ(1)（ｘ）＝ｘ1＋ｘ2＋ｘ3
ｓ(1^2)（ｘ）＝ｘ1ｘ2＋ｘ1ｘ3＋ｘ2ｘ3
ｓ(21)（ｘ）＝（ｘ1＋ｘ2）（ｘ1＋ｘ3）（ｘ2＋ｘ3）
などが得られる．
また，シューア対称多項式の内積の直交性
〈ｓλ，ｓμ〉＝δ （クロネッカーのδ）
は，シューア対称多項式が直交多項式の理論の枠内で捉えることができることを示している．
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ｓλ（ｘ）はヤング図形に対応する母関数であって，単項式の非負整数係数の１次結合として表せることが知られている．ｎ≧３とすれば
ｓ(3)（ｘ）＝ｍ(3)（ｘ）＋ｍ(21)（ｘ）＋ｍ(1^3)（ｘ）
ｓ(21)（ｘ）＝ｍ(21)（ｘ）＋２ｍ(1^3)（ｘ）
ｓ(1^3)（ｘ）＝ｍ(1^3)（ｘ）
一般に，
ｓλ（ｘ）＝ｍλ（ｘ）＋ΣＫｍμ（ｘ） （μ＜λ）
ｓλ（ｘ）＝ｍλ（ｘ）＋（それより低い順序のモノミアル）
において，Ｋは非負整数という形になっている．このことから一般のｓλ（ｘ）がｎ変数対称多項式のなす空間の基底であり，任意の対称多項式がこれらの１次結合で一意に表されることがいえるのである．
次に，ｎ変数のシューア多項式ｓλをベキ和多項式ｐrで表してみよう．すると
ｓ(1)＝ｐ1
ｓ(2)＝１／２ｐ2＋１／２ｐ1^2
ｓ(1^2)＝−１／２ｐ2＋１／２ｐ1^2
ｓ(3)＝１／３ｐ3＋１／２ｐ2ｐ1＋１／６ｐ1^3
ｓ(21)＝−１／３ｐ3＋１／３ｐ1^3
ｓ(1^3)＝１／３ｐ3−１／２ｐ2ｐ1＋１／６ｐ1^3
などとなる．これらの公式はシューア多項式を「変数の数ｎに依存しない形に表現できる」とても便利なものになっていて，ｎ→∞のときの無限個の変数の極限を考えたシューア多項式すなわちシューア関数の定義に用いることができる．
同様に，モノミアル対称多項式ｍλをベキ和多項式ｐrで表せば（とりあえず３次まで），
ｍ(1)＝ｐ1
ｍ(2)＝ｐ2
ｍ(1^2)＝−１／２ｐ2＋１／２ｐ1^2
ｍ(3)＝ｐ3
ｍ(21)＝−ｐ3＋ｐ2ｐ1
ｍ(1^3)＝１／３ｐ3−１／２ｐ2ｐ1＋１／６ｐ1^3
この両辺は無限変数の多項式でも成り立つことに注意されたい．対称多項式の無限変数版は対称関数と呼ばれ，変数の数ｎに依存しない形が望まれるのである．
シューア関数は組合せ論と表現論の関わりにおいて別格の扱いを受けているばかりではなく，数理物理の諸問題などに頻繁に現れる．たとえば，自由電子系に対する任意の励起状態はシューア対称多項式によって記述可能である．
以下に述べるジャック多項式，マクドナルド多項式はシューア関数の変形であり，内積のβ変形がジャック多項式，（ｑ，ｔ）変形がマクドナルド多項式となる．
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【５】ジャック対称多項式
シューア多項式は一般線形群の表現の指標として自然に現れるが，有理数係数のなす対称空間の基底となるもうひとつの例として，ジャック多項式がある．
それは結合定数βがパラメータβとしてはいった形で，たとえば，３変数の場合，
Ｊ(3)（ｘ）＝ｍ(3)（ｘ）＋３β／（２＋β）ｍ(21)（ｘ）＋６β^2／（１＋β）（２＋β）ｍ(1^3)（ｘ）
Ｊ(21)（ｘ）＝ｍ(21)（ｘ）＋６β／（１＋２β）ｍ(1^3)（ｘ）
Ｊ(1^3)（ｘ）＝ｍ(1^3)（ｘ）
と求まる．
パラメータβを１（自由電子の場合）とするとシューア多項式ｓλ，β＝０とすると単項対称多項式ｍλ，β→∞とすると基本対称式ｅλの定数倍になることが見て取れるだろう．
相互作用をもつ系の場合，一般に相関関数の計算を厳密に行うことはとても困難で近似計算するしかないが，その点，ポテンシャルに三角関数解を仮定したカロジェロ-サザーランド模型（量子可積分系）は解析的な結果を期待することができる価値のある模型である．
ジャック対称多項式も，直交多項式
〈Ｊλ，Ｊμ〉＝δ
であり，また，カロジェロ-サザーランド模型では
Δ（ｘ，β）＝Π（１−ｘi／ｘj）^β
が基底状態
Ｊλ（ｘ，β）Δ（ｘ，β）
が励起状態を表していて，量子可積分系の理論に自然に現れるものである．ジャック多項式はまたビラソロ代数という無限次元リー代数の表現論においても現れることが知られている．
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【６】マクドナルド対称多項式
ジャック多項式のｑアナログを考えると
Δ（ｘ，β）＝Π（１−ｘi／ｘj）^β
がヒントになって
Δ（ｘ，ｑ，ｔ）＝Π(xi/xj;q)∞(xj/xi;q)∞/(txi/xj;q)∞(txj/xi;q)∞
が得られる．
ｑ＝ｔとするとシューア多項式，ｔ＝ｑ^βとしてｑ→１とするとジャック多項式となる．マクドナルド多項式はジャック多項式の兄貴分であって，ジャック多項式にパラメータを加えて拡張し，固有値が縮退しないような状況を実現しているのである．
シューア，ジャック多項式での理論の多くは，マクドナルド多項式に対しても成り立つ．すなわち，直交多項式
〈Ｐλ，Ｐμ〉＝δ
であり，また，
Ｐλ（ｘ）＝ｍλ（ｘ）＋ΣＫｍμ（ｘ） μ＜λ
である．
３次までの例を計算すると
Ｐ(1)＝ｐ1
Ｐ(2)＝（１−ｑ）（１＋ｔ）／２（１−ｑｔ）ｐ2＋（１＋ｑ）（１−ｔ）／２（１−ｑｔ）ｐ1^2
Ｐ(1^2)＝−１／２ｐ2＋１／２ｐ1^2
Ｐ(3)＝−１／３・（１−ｔ^3）／（１−ｔ）・（１−ｑ）（１−ｑ^2）／２（１−ｑｔ）（１−ｑ^2ｔ）ｐ3＋１／２・（１−ｑ^3）（１−ｔ^2）／（１−ｑｔ）（１−ｑ^2ｔ）ｐ2ｐ1＋１／６・（１−ｑ^2）／（１−ｑ）・（１−ｑ^3）／（１−ｑ）・（１−ｔ）^2／（１−ｑｔ）（１−ｑ^2ｔ）ｐ1^3
Ｐ(21)＝−１／３・（１−ｔ^3）／（１−ｔ）・（１−ｑ）／（１−ｑｔ^2）ｐ3−１／２・（１−ｔ^2）／（１−ｔ）・（ｑ−ｔ）／（１−ｑｔ^2）ｐ2ｐ1＋（２＋ｑ＋ｔ＋２ｑｔ）／６・（１−ｔ）／（１−ｑｔ^2）ｐ1^3
Ｐ(1^3)＝１／３ｐ3−１／２ｐ2ｐ1＋１／６ｐ1^3
実はこれはＡn-1型離散系という特定のルート系に対応するマクドナルド多項式であって，それ以外のルート系に付随したマクドナルド多項式も考えることができる．そしてそれらを統一的に扱う枠組みとして提唱されたのが，アフィン・ヘッケ代数である．多変数の直交多項式に対しては，アフィン・ヘッケ代数という代数構造が重要な役割を果たすのである．
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【７】おわりに
これらの対称多項式において無限個の変数の場合を考えたものが，シューア関数，ジャック関数，マクドナルド関数である．本稿ではこれらの共通点すなわち
(1)モノミアル多項式を用いて展開される対称多項式
かつ
(2)多変数の直交多項式
であるという数学的側面について説明してきたのだが，とはいっても天下り的であって，相違点や物理的背景についてはほとんど何も説明しなかった．
そのため，不満に感じておられる読者も多いかと思う．参考文献を追記しておきたいのだが，詳細については
［参］三町勝久「ダイソンからマクドナルドまで」群論の進化・第４章，朝倉書店
［参］白石潤一「量子可積分系入門」サイエンス社
を参照されたい．
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