（その６）ではベルヌーイ多項式，（その８）ではオイラー多項式に基づいて

　　(1)奇数ゼータと偶数Ｌは偶数ゼータの無限和として表される

　　(2)奇数Ｌ，偶数Ｌ1，奇数Ｌ2は偶数ゼータの有限和で表される

ことを示したところ，杉岡幹生氏より，

　　(3)正の奇数ゼータのみならず，負の奇数ゼータも偶数ゼータの無限和として表現できる

というコメントを頂いた．

　

　しかし，(2)に関しては，どのように”偶数ゼータの有限和”で表現できるかを具体的に示さなかったため，かえって誤解を与えてしまったようである．

　

　また，（その８）では

　　Ｌ2(1)＝１／１＋１／３−１／５−１／７＋１／９＋１／１１−１／１３−１／１５＋（正負は８ごとに繰り返す）・・・＝π／２√２

を示したものの，

　　Ｌ1(1)＝１／１−１／３−１／５＋１／７＋１／９−１／１１−１／１３＋１／１５＋（正負は８ごとに繰り返す）・・・＝１／√２ｌｏｇ（１＋√２）

や

　　１／１−１／２＋１／４−１／５＋１／７−１／８＋（正負は３ごとに繰り返す）・・・＝π／３√３

については証明しなかった．

　

　これらは，ディリクレのＬ関数と総称される一群の関数の値についての公式である．今回のコラムではこれらの値を求めることにしたい．

　

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【１】ベルヌーイ多項式

　

　１次のベルヌーイ多項式のフーリエ展開は

　　Σsin(2nx)/n=π/2-x

で表される．

　

　この式の両辺を区間(0,x)で定積分すると

（１回積分）

　　-1/2Σcos(2nx)/n^2+1/2ζ(2)=(π/2)x-x^2/2

（２回積分）

　　-1/4Σsin(2nx)/n^3+1/2ζ(2)x=(π/2)x^2/2-x^3/6

（３回積分）

　　1/8Σcos(2nx)/n^4-1/8ζ(4)+1/4ζ(2)x^2=(π/2)x^3/6-x^4/24

（４回積分）

　　1/16Σsin(2nx)/n^5-1/8ζ(4)x+1/12ζ(2)x^3=(π/2)x^4/24-x^5/120

（５回積分）

　　-1/32Σcos(2nx)/n^6+1/32ζ(6)-1/16ζ(4)x^2+1/48ζ(2)x^4=(π/2)x^5/120-x^6/720

（６回積分）

　　-1/64Σsin(2nx)/n^7+1/32ζ(6)x-1/48ζ(4)x^3+1/240ζ(2)x^5=(π/2)x^6/720-x^7/5040

（７回積分）

　　1/128Σcos(2nx)/n^8-1/128ζ(8)+1/64ζ(6)x^2-1/192ζ(4)x^4+1/1440ζ(2)x^6=(π/2)x^7/5040-x^8/40320

（８回積分）

　　1/256Σsin(2nx)/n^9-1/128ζ(8)x+1/192ζ(6)x^3-1/960ζ(4)x^5+1/10080ζ(2)x^7=(π/2)x^8/40320-x^9/362880

となる．

　

　これらの定積分に，ｘ＝π／２，π／４を代入すると

　　　　　　　　　　　x=π/2　　　　　　　　　　x=π/4

　Σcos(2nx)/n^s　　-(1-2^(1-s))ζ(s)　　　-2^(-s)(1-2^(1-s))ζ(s)

　Σsin(2nx)/n^s　　　　０　　　　　　　　　　　L(s)

となるから，たとえば，（８回積分）にｘ＝π／４を代入すると，

　　1/256L(9)-1/128ζ(8)π/4+1/192ζ(6)(π/4)^3-1/960ζ(4)(π/4)^5+1/10080ζ(2)(π/4)^7=(π/4)^9/40320-(π/4)^9/362880

なる式が得られる．

　

　このことより，奇数ゼータが偶数ゼータの有限和

　　L(2n+1)=Σwiζ(2i)　　　（wi：重み，i=0〜n）

で一般的に表されることがわかるだろう．

　

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　また，（８回積分）にｘ＝π／２を代入すると，

　　-1/128ζ(8)π/2+1/192ζ(6)(π/2)^3-1/960ζ(4)(π/2)^5+1/10080ζ(2)(π/2)^7=(π/2)^9/40320-(π/2)^9/362880

となって，偶数ゼータ自身も偶数ゼータの有限和

　　ζ(2n)=Σwiζ(2i)　　　（wi：重み，i=0〜n-1）

で表されることが理解される．

　

　こうなると偶数ゼータがすべてζ(2)に由来することになり，杉岡氏の偶数ゼータＤＮＡ説に抵触（？）してしまうかもしれない．．．

　

　さらに，７回積分にｘ＝π／４を代入してみよう．すると，

　　-2^(-8)(1-2^(-7))ζ(8)-1/128ζ(8)+1/64ζ(6)(π/4)^2-1/192ζ(4)(π/4)^4+1/1440ζ(2)(π/4)^6=(π/2)(π/4)^7/5040-(π/4)^8/40320

となる．

　

　しかし，これは（８回積分）にｘ＝π／２を代入した式

　　-1/128ζ(8)π/2+1/192ζ(6)(π/2)^3-1/960ζ(4)(π/2)^5+1/10080ζ(2)(π/2)^7=(π/2)^9/40320-(π/2)^9/362880

とは異なる式である．

　

　すなわち，

　　ζ(2n)=Σwiζ(2i)　　　（wi：重み，i=0〜n-1）

の表し方は１通りではないのだが，これはζ(2i)が互いに線形独立ではないことを意味している．

　

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　なお，１次のベルヌーイ多項式

　　Σsin(2nx)/n=π/2-x

にｘ＝π／３を代入すると，冒頭に掲げた公式

　　１／１−１／２＋１／４−１／５＋１／７−１／８＋（正負は３ごとに繰り返す）・・・＝π／３√３

が得られる．

　

　同様に，３次のベルヌーイ多項式

　　Σsin(2nx)/n^3=1/12{π^3-2π^2x+(2x-π)^3}

にｘ＝π／３を代入すると，

　　１／１^3−１／２^3＋１／４^3−１／５^3＋１／７^3−１／８^3＋（正負は３ごとに繰り返す）・・・＝４π^3／８１√３

　

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【２】オイラー多項式

　

　０次のオイラー多項式のフーリエ展開は

　　Σsin((2n-1)x)/(2n-1)=π/4

であり，ベルヌーイ多項式の場合と同様に

（１回積分）

　　-Σcos(2n-1)x/(2n-1)^2+(1-2^(-2))ζ(2)=(π/4)x

（２回積分）

　　-Σsin(2n-1)x/(2n-1)^3+(1-2^(-2))ζ(2)x=(π/4)x^2/2

（３回積分）

　　Σcos(2n-1)x/(2n-1)^4-(1-2^(-4))ζ(4)+(1-2^(-2))ζ(2)x^2/2=(π/4)x^3/6

（４回積分）

　　Σsin(2n-1)x/(2n-1)^5-(1-2^(-4))ζ(4)x+(1-2^(-2))ζ(2)x^3/6=(π/4)x^4/24

（５回積分）

　　-Σcos(2n-1)x/(2n-1)^6+(1-2^(-6))ζ(6)-(1-2^(-4))ζ(4)x^2/2+(1-2^(-2))ζ(2)x^4/24=(π/4)x^5/120

（６回積分）

　　-Σsin(2n-1)x/(2n-1)^7+(1-2^(-6))ζ(6)x-(1-2^(-4))ζ(4)x^3/6+(1-2^(-2))ζ(2)x^5/120=(π/4)x^6/720

（７回積分）

　　Σcos(2n-1)x/(2n-1)^8-(1-2^(-8))ζ(8)+(1-2^(-6))ζ(6)x^2/2-(1-2^(-4))ζ(4)x^4/24+(1-2^(-2))ζ(2)x^6/720=(π/4)x^7/5040

（８回積分）

　　Σsin(2n-1)x/(2n-1)^9-(1-2^(-8))ζ(8)x+(1-2^(-6))ζ(6)x^3/6-(1-2^(-4))ζ(4)x^5/120+(1-2^(-2))ζ(2)x^7/5040=(π/4)x^8/40320

　

　これらの積分にｘ＝π／２，π／４を代入すると

　　　　　　　　　　　　　　 x=π/2　　　　　　 x=π/4

　Σcos(2n-1)x/(2n-1)^s　　　　０　　　　　　　 L1(s)/√2

　Σsin(2n-1)x/(2n-1)^s　　　　L(s)　　　　　　 L2(s)/√2

となる．

　

　（８回積分）にｘ＝π／２を代入すると，

　　L(9)-(1-2^(-8))ζ(8)π/2+(1-2^(-6))ζ(6)(π/2)^3/6-(1-2^(-4))ζ(4)(π/2)^5/120+(1-2^(-2))ζ(2)(π/2)^7/5040=(π/4)(π/2)^8/40320

となって，ベルヌーイ多項式の場合と同様，

　　L(2n+1)=Σwiζ(2i)　　　（wi：重み，i=0〜n）

で表されることがわかる．

　

　また，（８回積分）にｘ＝π／４を代入すると，

　　L2(9)/√2-(1-2^(-8))ζ(8)π/4+(1-2^(-6))ζ(6)(π/4)^3/6-(1-2^(-4))ζ(4)(π/4)^5/120+(1-2^(-2))ζ(2)(π/4)^7/5040=(π/4)^9/40320

すなわち，

　　L2(2n+1)=Σwiζ(2i)　　　（wi：重み，i=0〜n）

で表されることも理解されるだろう．

　

　　L1(2n)=Σwiζ(2i)　　　（wi：重み，i=0〜n）

についても同様に示すことができる．

　

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　しかし，オイラー多項式からは

　　Ｌ2(1)＝１／１＋１／３−１／５−１／７＋１／９＋１／１１−１／１３−１／１５＋（正負は８ごとに繰り返す）・・・＝π／２√２

は求められても，

　　Ｌ1(1)＝１／１−１／３−１／５＋１／７＋１／９−１／１１−１／１３＋１／１５＋（正負は８ごとに繰り返す）・・・＝１／√２ｌｏｇ（１＋√２）

は求まらなかった．

　

　別の式が必要になるのだが，

　　Σcos((2n-1)x)/(2n-1)=1/2*log(cot(x/2))

を用いることにしよう．この式は

　　Σcos(2nx)/n=-log(sinx)-log2

に対応する式と考えられることは（その８）で述べたとおりである．

　

　そして，この式にｘ＝π／４を代入すると，当該の

　　L1(1)/√2=1/2*log(cot(π/8))=1/2*log(1+√2)

が得られるというわけである．

　

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　（０回微分）　Σcos((2n-1)x)/(2n-1)=1/2*log(cot(x/2))

　（１回微分）　Σsin((2n-1)x)=1/2*cosecx

　（２回微分）　Σ(2n-1)cos((2n-1)x)=-1/2*cosecxcotx

　（３回微分）　Σ(2n-1)^2sin((2n-1)x)=-1/2*(2-sin^2x)/sin^3x

　（４回微分）　Σ(2n-1)^3cos((2n-1)x)=cosx(6-sin^2x)/sin^4x

　

　ここで，

　　　　　　　　　　　　　　 x=π/2　　　　　　 x=π/4

　Σcos(2n-1)x/(2n-1)^s　　　　０　　　　　　　 L1(s)/√2

　Σsin(2n-1)x/(2n-1)^s　　　　L(s)　　　　　　 L2(s)/√2

であるから，

　　　　　　　　　x=π/2　　　　　　　　　　x=π/4

　（０回微分）　　0=0　　　　　　　　　　　 L1(1)=1/√2*log(1+√2)

　（１回微分）　　L(0)=1/2　　　　　　　　　L2(0)=1

　（２回微分）　　0=0　　　　　　　　　　　 L1(-1)=-1

　（３回微分）　　L(-2)=-1/2　　　　　　　　L2(-2)=-3

　（４回微分）　　0=0　　　　 　　　　　　　L1(-3)=11

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