■無限次元空間の球充填問題（その５）
コラム「ゼータとポリログ関数」では，ポリログ関数を導入しました．ポリログ関数は
ジログ関数：Ｌ2(x)＝Σx^n/n^2＝-∫(0,x)log(1-t)/tdt
Ｌn+1(x)＝∫(0,x)Ｌn(t)/tdt
で定義される関数ですが，
トリログ関数：Ｌ3(x)=Σx^3/n^3，
テトラログ関数：Ｌ4(x)=Σx^4/n^4，
ペンタログ関数：Ｌ5(x)=Σx^5/n^5，
などを総称してポリログ関数と呼びます．特に，ジログ関数：
Ｌ2(x)＝Σx^n/n^2＝-∫(0,x)log(1-t)/tdt
はアーベルの関数とも呼ばれ，
Ｌ2(1)＝ζ(2)＝π^2／６
となります．
今回のコラムでは，シュレーフリ関数を取り上げます．４次元以上の正多面体を初めて深く研究したのは１９世紀の数学者シュレーフリであって，彼が導入したシュレーフリ関数
Ｆn+1(θ)＝2/π∫(1/2arcsec(n),θ)Ｆn-1(φ)dθ
ｓｅｃ２φ＝ｓｅｃ２θ−２
Ｆ0(θ)＝1，Ｆ1(θ)＝1
はアーベル関数とも密接な関係があるようです．
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【１】高次元の正多胞体
ｎ次元空間の正多胞体とは「ｎ個の超平面に囲まれ，全体の中心ｏnから各頂点ｏ0，各辺の中点ｏ1，各面の中心ｏ2，・・・，各超辺の中心ｏn-2，各超平面の中心ｏn-1までの距離がそれぞれ相等しく，そのｍ次元成分はすべてｍ次元の正多胞体である」と定義されます．
また，２次元の正多角形はその辺数ｐで，３次元の正多面体は面の辺数ｐと各頂点に会する面の個数ｑをペアにしたシュレーフリ記号（ｐ，ｑ）で表されます．それと同様に，ｎ次元正多胞体ではシュレーフリ記号を一般化して，ｎ−１次元超平面（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-2）が３次元低い構成要素上にｐn-1個ずつ会する，
（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-2，ｐn-1）
で表現されます．
たとえば，
ｎ次元正単体は（３，３，・・・，３，３），
双対立方体は（３，３，・・・，３，４），
超立方体は（４，３，・・・，３，３）
と表されます．これを逆順にした（ｐn-1，ｐn-2，・・・，ｐ1）で表される正多胞体が双対正多胞体です．
また，ｆkをｎ次元多面体のｋ次元面の数とし，
（ｆ0，ｆ1，・・・，ｆn-2，ｆn-1）
を構成要素とするｎ次元正多胞体では，組み合わせ的方法によって，ｋ次元胞数ｆkが求められます．
正単体では
ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）
なのですが，ｋ＝ｎ−１のときｆk＝ｎ＋１であって，胞数はｎ＋１と計算されます．ｎ次元正単体（正ｎ＋１胞体）の場合，ｆ0，ｆ1，ｆ2はそれぞれ
頂点数： ｎ＋１，
稜数： （ｎ＋１）ｎ／２，
三角形数：ｎ（ｎ^2−１）／６
となるというわけです．
同様に，双対立方体では
ｆk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１）
ｋ＝ｎ−１のとき，ｆk＝２^n →（正２^n胞体）
頂点数： ２ｎ，
稜数： ２ｎ（ｎ−１），
三角形数：２ｎ（ｎ−１）^2／３
立方体では
ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ）
ｋ＝ｎ−１のとき，ｆk＝２ｎ →（正２ｎ胞体）
頂点数： ２^n，
稜数： ２^(n-1)ｎ，
四角形数：２^(n-3)ｎ（ｎ−１）
となります．
もちろん，
正単体：ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）
双対立方体：ｆk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１）
立方体：ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ）
はオイラー・ポアンカレの定理：
ｆ0−ｆ1＋ｆ2−・・・＋（−１）^(n-1)ｆn-1＝１−（−１）^n
を満たします．右辺はｎが奇数なら２，偶数なら０となりますが，この定理は正多胞体に限らず，ｎ次元凸多胞体について常に成立します．
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【２】基本単体と二面角
また，ｏnｏn-1・・・ｏ1ｏ0を結んだｎ次元単体を基本単体（シュレーフリ図形）と呼びます．基本単体では，ｏ0ｏ1，ｏ1ｏ2，・・・，ｏn-1ｏnは互いに直交するので，多重直角単体となっています．
｛ｏ2ｏ3・・・ｏi｝上ｏ0，ｏ1のなす角∠ｏ0ｏ2ｏ1＝π／ｐ1
｛ｏ0ｏ2｝上ｏ1，ｏ3のなす角＝π／ｐ2
｛ｏ0ｏ1ｏ4｝上ｏ2，ｏ3のなす角＝π／ｐ3
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｛ｏ0ｏ1・・・ｏn-2ｏn｝上ｏn-2，ｏn-1のなす角＝π／ｐn-1
そして，｛ｏ0ｏ1・・・ｏn-2｝上ｏn-1，ｏnのなす角
∠ｏn-1ｏn-2ｏn＝π／ｐn-1
は，超平面同士が超辺上でなす二面角δの半分です（注：二胞角というべきですが３次元の場合の用語を転用します）．
超立方体の二面角はつねに９０°ですが，正単体の２面角は，頂点（ｘ，ｘ，・・・，ｘ），底面の中心ｏn-1（１／ｎ，・・・・，１／ｎ），１つの超辺の中心ｏn-2（０，１／（ｎ−１），・・・，１／（ｎ−１））の関係から
ｃｏｓδ＝１／ｎ
また，双対立方体の２面角は，たとえば，頂点（±１，０，・・・，０）と赤道面の１つの超辺の中心ｏn-2（０，１／（ｎ−１），・・・，１／（ｎ−１））より，
ｃｏｓδ＝−（ｎ−２）／ｎ
と計算されます．
正三角形の２次元基本単体は直角三角形（π／６，π／３，π／２）なのですが，１次元基本単体（基本線分）は辺の半分の長さの線分です．それが６＝３！個集まると元の正三角形の表面積（周長）が構成されます．
また，正四面体の３次元基本単体は重直角四面体なのですが，この重直角四面体ＡＢＣＤの対面を１，２，３，４で表し，面ｉと面ｊの間の二面角を（ｉ，ｊ）で表すと，隣接していない面では
（１，３）＝（１，４）＝（２，４）＝π／２
一方，隣接している面同士では
（１，２）＝π／３，（２，３）＝π／３，（３，４）＝π／３
さらに，正四面体の２次元基本単体は直角三角形（π／６，π／３，π／２）であって，２４＝４！個で元の正四面体の表面積に等しくなります．
同様に，ｎ次元単体の基本単体数はｎ！個であることがわかります．また，ｎ次元空間内の正単体の（ｎ−１）次基本単体は，（ｎ−１）次元球面上に射影することによって球面上の基本単体になるのですが，それらの間の二面角は
δ／２
π／３（隣接しているとき）
π／２（隣接していないとき）
であって，単純リー群を使って表現することが可能です．→コラム「無限次元空間の球充填問題（その２）」参照
（その４）では，シュレーフリ関数Ｆnを用いて，単位超球から得られる楔状体の体積が，
２^(-n)ｎ！ｖnＦn(θ)
δ＝２θ＝arcsec(n)
で与えられることを述べましたが，
ｎ！Ｆn（δ／２）
ｃｏｓδ＝１／ｎ
が出現した理由はこれらのことによっています．
また，シュレーフリ関数は二面角が直角の場合を基準としています．二面角が直角の１次元基本単体を外接円に射影すると，外接円は４等分（＝２^2）されます．二面角が直角の２次元単体を外接球に射影すると，外接球は８等分（＝２^3）されます．
同様に，二面角が直角の（ｎ−１）次元単体を（ｎ−１）次元球面上に射影することによって，ｎ次元超球の（ｎ−１）次元表面積は２^n等分されますから，ｎ次元楔状体の体積に
２^(-n)ｖn
が現れるというわけです．
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基本単体の個数ｇはｎ次元正多胞体の諸量を計算するための最も大切な基本量です．基本単体は万華鏡のように隣同士が鏡像形であり，半分ずつが互いに合同です．
それより，各頂点に正ｐ角形がｑ面が会した３次元正多面体（ｐ，ｑ）の場合，基本単体の個数は
ｇ＝２ｐｆ＝２ｑｖ＝４ｅ
すなわち，正多面体の辺の個数ｅの４倍と等しくなります．
また，（ｎ＋１）次元空間内の正多胞体はｎ次元球面上に射影することによって球面充填形になるのですが，そのような方法によって，３次元正多面体の基本単体の個数を（ｐ，ｑ）を用いて表すと
ｇ＝４π／π（１／ｐ＋１／ｑ−１／２）＝８ｐｑ／｛４−（ｐ−２）（ｑ−２）｝
となります．
この式の分母にある
１／ｐ＋１／ｑ−１／２＞０
は，３次元多面体が存在するための必要条件ですが，本質的には内角の和からπを引いた球面過剰に比例する球面三角形の面積（＝Ｄ）ですから，要素の数ｇは，全球面積４πをＤで割った値として表現できるというわけです．
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４次元正多胞体の必要条件はどうでしょうか？ ４次元正多胞体（ｐ，ｑ，ｒ）すなわち合同な正多面体（ｐ，ｑ）の各面が２つの（ｐ，ｑ）に属し，各辺がｒ個の（ｐ，ｑ）に属すとしましょう．
そのような４次元正多胞体が実空間内に作られるための必要条件は
ｓｉｎ（δ／２）＝ｃｏｓ（π／ｑ）ｃｏｓ（π／ｐ）
さらに，１点のまわりの二面角の和が４直角未満という条件
ｒδ＜２π
と同値な
ｓｉｎ（δ／２）＜ｃｏｓ（π／ｒ）
と合わせて，
ｃｏｓ（π／ｑ）＜ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｒ）
すなわち，
Δ^2＝ｓｉｎ^2（π／ｐ）ｓｉｎ^2（π／ｒ）−ｃｏｓ^2（π／ｑ）＞０
となります．Δ＝０となるのは３次元の空間充填形で，これは（４，３，４）しかありません．
５次元正多房体（ｐ，ｑ，ｒ，ｓ）の場合も，これまでと同様に４次元正多胞体（ｐ，ｑ，ｒ）をｓ個ずつくっつけますから，４次元正多胞体の二面角のｓ倍が４直角未満であることが必要で，
ｃｏｓ^2（π／ｑ）／ｓｉｎ^2（π／ｐ）＋ｃｏｓ^2（π／ｒ）／ｓｉｎ^2（π／ｓ）＜１
となります．
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【３】シュレーフリ関数Ｓ（ｘ，ｙ，ｚ）
ここでは，ｎ＝４の場合についてのシュレーフリの計量的な方法について説明しますが，３次元の基本単体を，４次元の中心Ｏから単位球面上に射影した図形の球面積を求めれば，それで全球面積４ｖ4＝２π^2を割って，４次元の基本単体の個数がでます．（一般に，ｎ次元超球の（ｎ−１）次元表面積はｎｖnで与えられます．）
３次元の重直角四面体ＡＢＣＤの対面を１，２，３，４で表し，面ｉと面ｊの間の二面角を（ｉ，ｊ）で表します．そして，
（１，３）＝（１，４）＝（２，４）＝π／２ （隣接していない）
（１，２）＝α，（２，３）＝β，（３，４）＝γ （隣接している）
とおきます．
これを４次元の超球面に射影し，ＡＢＣＤＯが４次元正多面体の１つの基本単体であるときには，
α＝π／ｐ，β＝π／ｑ，γ＝π／ｒ
で，これが実空間内に作られる条件は，前述したように
ｓｉｎ^2αｓｉｎ^2γ＞ｃｏｓ^2β
となります．
シュレーフリはこの単位球面上の超球面四面体ＡＢＣＤを４次元の全球面の面積２π^2と合わせるために，
π^2ｆ（α，β，γ）／８
とおきました．
関数ｆ（α，β，γ）は，α，β，γについて微分すると，そのときの微小変化量ｄｆは２次元の球面上の三角形の面積に比例し，それは角過剰（内角の和−π）に比例するわけですから，
π^4／４ｄｆ＝ａｒｃｃｏｓ｛ｓｉｎαｃｏｓγ／（ｓｉｎ^2α−ｃｏｓ^2β）^(1/2)｝ｄα
＋ａｒｃｃｏｓ｛ｃｏｓαｃｏｓβｃｏｓγ／｛（ｓｉｎ^2α−ｃｏｓ^2β）（ｓｉｎ^2γ−ｃｏｓ^2β）^(1/2)｝｝ｄβ
＋ａｒｃｃｏｓ｛ｓｉｎγｃｏｓα／（ｓｉｎ^2γ−ｃｏｓ^2β）^(1/2)｝ｄγ
となるような級数を考えます．
ｓｉｎαｃｏｓγ／（ｓｉｎ^2α−ｃｏｓ^2β）^(1/2)
のような引数の形は，直角三角形の性質に基づいています．
実際の計算では，コクゼターがやったようにαとγをその余角に修正した関数
Ｓ（α，β，γ）＝π^2ｆ（π/2-α，β，π/2-γ）／２
としたほうが便利のようです．
そこで，あらためてシュレーフリ関数を
Ｓ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ΣＸ^n／ｎ^2（ｃｏｓ２ｎｘ−ｃｏｓ２ｎｙ＋ｃｏｓ２ｎｚ−１）−ｘ^2＋ｙ^2−ｚ^2
Ｘ＝（Ｄ−ｓｉｎｘｓｉｎｚ）／（Ｄ＋ｓｉｎｘｓｉｎｚ）
Ｄ＝（ｃｏｓ^2ｘｃｏｓ^2ｚ−ｃｏｓ^2ｙ）^(1/2)
と定義します．
ｄＳ＝ΣＸ^n／ｎ（ｃｏｓ２ｎｘ−ｃｏｓ２ｎｙ＋ｃｏｓ２ｎｚ−１）ｄｌｏｇＸ
−２ΣＸ^n／ｎ（ｓｉｎ２ｎｘｄｘ−ｓｉｎ２ｎｙｄｙ＋ｓｉｎ２ｎｚｄｚ）
−２（ｘｄｘ−ｙｄｙ＋ｚｄｚ）
ですが，ここでフーリエ級数の公式
Σｔ^n／ｎ（ｃｏｓ２ｎｕ）＝−１／２ｌｏｇ（１−２ｔｃｏｓ２ｕ＋ｔ^2）
Σｔ^n／ｎ（ｓｉｎ２ｎｕ）＝ａｒｃｔａｎ（（１＋ｔ）／（１−ｔ）ｔａｎｕ）−ｕ
より，
−１／２ｄＳ＝ａｒｃｃｏｓ｛ｃｏｓｘｓｉｎｚ／（ｃｏｓ^2ｘ−ｃｏｓ^2ｙ）^(1/2)｝ｄｘ
＋ａｒｃｃｏｓ｛ｓｉｎｘｃｏｓｙｓｉｎｚ／｛（ｃｏｓ^2ｘ−ｃｏｓ^2ｙ）（ｃｏｓ^2ｚ−ｃｏｓ^2ｙ）^(1/2)｝｝ｄｙ
＋ａｒｃｃｏｓ｛ｓｉｎｘｃｏｓｚ／（ｃｏｓ^2ｚ−ｃｏｓ^2ｙ）^(1/2)｝ｄｚ
となって，
Ｓ（ｘ，ｙ，ｚ）＝π^2ｆ（π/2-α，β，π/2-γ）／２
を得ることができます．
しかし，その値を与える式は書けるものの，その中の積分が初等関数の範囲では計算できません．それでも有限個の（ｐ，ｑ，ｒ）の特別な組に対する定積分の値は理論的に求めることができていて，たとえば，
Ｓ（π／６，π／３，π／６）＝π^2／１５
Ｓ（π／６，π／４，π／６）＝π^2／４８
Ｓ（π／６，π／４，π／６）＝π^2／１４４
Ｓ（３π／１０，π／３，π／６）＝π^2／１８００
４次元正単体（３，３，３）の場合，α＝β＝γ＝π／３ですから，
Ｓ（π／６，π／３，π／６）＝π^2／１５
となります．
確かに，４次元多胞体での結果は，ジログ関数（アーベルの関数）
Ｌ2(x)＝Σx^n/n^2＝-∫(0,x)log(1-t)/tdt
Ｌ2(1)＝ζ(2)＝π^2／６
と関係がありそうです．
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【４】シュレーフリ関数Ｆn(θ)
上に掲げたシュレーフリ関数Ｓ（ｘ，ｙ，ｚ）は，ｎ次元球の最密充填に関する評価式のうち，ｎ＝４に対する場合には利用できますが，一般のｎ次元で使えるようにするために，それを拡張しておく必要があります．また，正単体の諸量を計算するためには，one-parameter化しておいた方が都合がよいと考えられます．
そこで，シュレーフリは，微小変化量ｄＦが
ｄＦn+1(θ)＝Ｆn-1(φ)ｄＦ2
すなわち，２次元の球面上の三角形の面積に比例することを用いて，シュレーフリ関数Ｆn(θ)を
Ｆn+1(θ)＝2/π∫(1/2arcsec(n),θ)Ｆn-1(φ)dθ
ｓｅｃ２φ＝ｓｅｃ２θ−２
Ｆ0(θ)＝1，Ｆ1(θ)＝1
で再帰的に定義しました．
ｄＦ2＝2/πｄθ
というわけですが，
Ｆ2(θ)＝2/π・θ
Ｆ3(θ)＝2/π（θ−π／６）
となることは簡単に確かめられます．
さらに，シュレーフリは
Ｆ2k+1(θ)＝Ｆ2k(θ)-1/3Ｆ2k-2(θ)+2/15Ｆ2k-4(θ)-・・・
と展開され，その係数が
ｔａｎｈｘ＝ｘ-1/3ｘ^3+2/15ｘ^5-17/315ｘ^7+(-1)^(n-1)2^(2n)(2^(2n)-1)Bn/(2n!)ｘ^(2n-1)・・・
と同じであることを示しています．
したがって，奇数次元のシュレーフリ関数に関しては
Ｆ3(θ)＝Ｆ2(θ)-1/3＝2/π（θ−π／６）
Ｆ5(θ)＝Ｆ4(θ)-1/3Ｆ2(θ)+2/15
Ｆ7(θ)＝Ｆ6(θ)-1/3Ｆ4(θ)+2/15Ｆ2(θ)-17/315
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Ｂnはベルヌーイ数なのですが，ベルヌーイ数とゼータ関数との間には，公式
ζ(2k)=(-1)^(k-1)2^(2k-1)Ｂ2k／(2k)!π^(2k)
が成り立ちますから，シュレーフリ関数とポリログ関数との関係が再び示唆されたことになります．
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Ｆ3（1/2arccos(1/3)）＝arccos(1/3)／π−１／３
それに対して，Ｆ4(θ)を解析的に求めることは難しく，数値積分で近似値を計算することになるのですが，Ｆ4（1/2arccos(1/4)）の場合，公式
Ｆn+1（1/2arccos(1/n)）＝０
を用いて，
Ｆ5（1/2arccos(1/4)）＝０
また，
Ｆ5(θ)＝Ｆ4(θ)-1/3Ｆ2(θ)+2/15
より，
Ｆ4（1/2arccos(1/4)）＝1/3(arccos(1/4)／π-2/5)
と計算されます．
このように，シュレーフリ関数を用いると，
ｄ3＝√１８（ａｒｃｃｏｓ（１／３）−π／３）＝０．７７９７・・・
Ｄ3＝９√３／２（ａｒｃｃｏｓ（１／３）−π／３）＝１．４３１・・・
の計算が可能となるし，４次元空間では，
ｄ4＝３√５π（１／２ａｒｃｃｏｓ（１／４）−π／５）＝０．６４７・・・
Ｄ4＝１９２／（５√５）π（１／２ａｒｃｃｏｓ（１／４）−π／５）＝１．６５８・・・
となるというわけです．
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［参］一松信「高次元の正多面体」日本評論社
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