今回のコラムでは（その３）で遣り残した宿題，一般のｎ次元における単体的限界密度の問題を（不完全ながら）片づけておきたい．

　

　単体的密度限界とは，稜の長さが２ｒのｎ次元正則単体の頂点に半径ｒの球を描いたときの充填密度ｄn，外接球Ｒを描いたときの単体における球の被覆密度Ｄnのことである．

　

　コラム「高次元の正多胞体（その４）」では，１辺の長さ√２のｎ次元正単体の体積が

　　Ｖ＝√（１＋ｎ）／ｎ！

外接球の半径が

　　Ｒ＝√（ｎ／（ｎ＋１））

で与えられることを示した．

　

　したがって，辺の長さが２の正単体の体積は

　　Ｖ＝√（１＋ｎ）／ｎ！・２^(n/2)

外接球の半径は

　　Ｒ＝（２ｎ／（ｎ＋１））^(1/2)

で与えられる．一方，外接球の半径が１である正単体の１辺の長さは

　　Ｒ＝｛２（１＋ｎ）／ｎ｝^(1/2)

その体積は

　　Ｖ＝√（１＋ｎ）／ｎ！・｛２（１＋ｎ）／ｎ｝^(n/2)

となる．

　

　これらのことから，

　　Ｄn＝（２ｎ／（ｎ＋１））^(n/2)ｄn

の関係が成り立つことは容易に納得できるであろう．

　

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【１】単体的密度限界とシュレーフリ関数

　

　平面の場合は，簡単で

　　ｄ2＝π／√１２＝０．９０６８・・・

　　Ｄ2＝２π／√２７＝１．２０９・・・

と計算できる．

　

　３次元空間の場合は，ロジャースによって

　　ｄ3＝√１８（ａｒｃｃｏｓ（１／３）−π／３）＝０．７７９７・・・

　　Ｄ3＝９√３／２（ａｒｃｃｏｓ（１／３）−π／３）＝１．４３１・・・

と計算されている．

　

　１９５８年，ロジャースは，四面体配置から空間充填率の上限を７７．９７％とはじき出した．四面体配置は，３次元で相互に接するように球を配置するときの最大数となる配置であるが，全空間を充たすことはできないので，空間充填率の上限と考えられるわけである．

　

　ここで，ａｒｃｃｏｓ（１／３）が出現するのは，ｎ次元正単体の二面角が

　　ｃｏｓδ＝１／ｎ

となることに基づいている．

　

　二面角が重要なのはｎ＋１次元正多胞体（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn）が存在するための必要条件が

　　δｐn＜２π

で表されるからである．これは３次元正多面体の場合，１点のまわりの角錐の角の和が４直角未満という条件の一般化にあたるわけである．

　

　正単体による空間充填形は，シュレーフリ記号を用いて，

　　（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn）＝（３，３，・・・，３，ｐ）

　　　ｐ＝２π／δ＝２π／ａｒｃｃｏｓ（１／ｎ）

と書くことができるのだが，ｎ＝２以外のときにはδは４直角の整数分の１にはならない，したがって，ｐも整数とはならないことが理解される（正三角形による平面充填形）．３次元以上の正単体は空間充填形にはなり得ないのである．

　

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　以上のことから，ｄ2，Ｄ2が簡単に求められたのは正三角形による平面充填が可能であるからであって，一般のｄn，Ｄn（ｎ≧３）の計算にはシュレーフリ関数が必要となるということがわかった．

　

　すなわち，ｖnをｎ次元単位超球の体積とすると

　　ｄn＝（ｎ＋１個のｎ次元楔状体の体積の和）／Ｖ＝ｆｖn／Ｖ

となるが，２次元では３個の扇状体（中心角π／３）ができるから

　　ｆ＝π／２π＝１／２

となるものの，３次元以上でｆ値を求めるには，シュレーフリ関数によらなければならないというわけである．

　

　ところで，シュレーフリ関数は

　　Ｆn+1(θ)＝2/π∫(1/2arcsec(n),θ)Ｆn-1(φ)dθ

　　ｓｅｃ２φ＝ｓｅｃ２θ−２

　　Ｆ0(θ)＝1，Ｆ1(θ)＝1

で定義される関数で，

　　Ｆ2(θ)＝2/π・θ

　　Ｆ3(θ)＝2/π（θ−π／６）

となる．

　

　シュレーフリ関数を用いると，単位超球から得られる楔状体の体積は，

　　２^(-n)ｎ！ｖnＦn(θ)

　　δ＝２θ＝arcsec(n)

で与えられる．

　

　また，単位超球に内接する正単体の１辺の長さは，

　　Ｒ＝｛２（１＋ｎ）／ｎ｝^(1/2)

その体積は

　　Ｖ＝√（１＋ｎ）／ｎ！・｛２（１＋ｎ）／ｎ｝^(n/2)

したがって，ｎ＋１個の単位超球が辺の長さ

　　√（２（ｎ＋１）／ｎ）

の正単体を被覆するという状況では，

　　Ｄn ＝（ｎ＋１）２^(-n)ｎ！ｖnＦn(θ)／Ｖ

　　　　＝ｎ^(n/2)（ｎ！）^2／２^n（ｎ＋１）^((n-1)/2)・ｖnＦn(1/2arcsec(n)θ)

　　ｄn＝（２ｎ／（ｎ＋１））^(-n/2)Ｄn

　　　　＝（ｎ＋１）^(1/2)（ｎ！）^2／２^(3n/2)・ｖnＦn(1/2arcs

となる．

　

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　　Ｆ3（1/2arccos(1/3)）＝arccos(1/3)／π−１／３

それに対して，

　　Ｆ4（1/2arccos(1/4)）

は難しいが，

　　Ｆn+1（1/2arccos(1/n)）＝０

より，

　　Ｆ5（1/2arccos(1/4)）＝０

また，

　　Ｆ5(θ)＝Ｆ4(θ)-1/3Ｆ2(θ)+2/15

より，

　　Ｆ4（1/2arccos(1/4)）＝1/3(arccos(1/4)／π-2/5)

と計算される．

　

　シュレーフリ関数については，後日，もう一度調べ直してから報告したいと考えているのだが，ともあれ，シュレーフリ関数を用いると，

　　ｄ3＝√１８（ａｒｃｃｏｓ（１／３）−π／３）＝０．７７９７・・・

　　Ｄ3＝９√３／２（ａｒｃｃｏｓ（１／３）−π／３）＝１．４３１・・・

の計算が可能となるし，４次元空間では，

　　ｄ4＝３√５π（１／２ａｒｃｃｏｓ（１／４）−π／５）＝０．６４７・・・

　　Ｄ4＝１９２／（５√５）π（１／２ａｒｃｃｏｓ（１／４）−π／５）＝１．６５８・・・

となるのである．

　

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【２】単体的密度限界の漸近挙動

　

　２次元の最密格子状球充填，最疎格子状球被覆では，

　　ｄ2＝Δ2π／√１２，Ｄ2＝Θ2＝２π／√２７

であるが，３次元では

　　ｄ3＞Δ3＝π／√１８，Ｄ3＜Θ3＝５√５π／２４

となっている．４次元でも

　　ｄ4＞Δ4＝π^2／１６，Ｄ4＜Θ4＝２π^2／５√５

である．

　

　単体的密度限界が最密球充填の上界，最疎球被覆の下界となっているのだが，高次元での漸近挙動はどのようになるのだろうか？

　

　ミンコフスキーは，数の幾何学の理論を利用して，

　　Δ≧ζ(n)／２^(n-1)

を得た．この下界は，

　　Δ≧ｎζ(n)／｛ｅ（１−ｅ^(-n)）２^(n-1)｝

で改善されるという．

　

　一方，上界は

　　Δ≦ｄn≦１

により，単体的密度限界ｄnで押さえられるが，すべてのｎに対して不等式

　　ｄn＜（ｎ＋２）／２・２^(-n/2)

が成り立つことが示されている．

　

　ｎ→∞のときの漸近挙動としては，

　　ｄn 〜（ｎ＋１）！ｅ^(n/2-1)／√２Γ(1+n/2)（４ｎ）^(n/2)

　　　　〜ｎ／ｅ・２^(-n/2)

がある．この漸近公式によって，粗雑な（ｎ＋２）／２はｎ／ｅに改善されることになる．

　

　また，

　　Ｄn＝｛２ｎ／（ｎ＋１）｝^(n/2)ｄn

において，ｎ→∞のとき，

　　｛２ｎ／（ｎ＋１）｝^(n/2)→ｅ^(-1/2)２^(n/2)

より

　　Ｄn　〜　ｎ／ｅ√ｅ

となることわかる．

　

　なお，ｎ次元の凸体（単体を含む）による最密空間充填に対しては，

　　Σ(n,r)^2=(2n,n)

より，

　　２／(2n,n)≦Δ≦２^n／(2n,n)

すなわち，

　　2(n!)^2/(2n!)≦Δ≦2^n(n!)^2/(2n!)

となるが，その漸近挙動はスターリングの公式により，

　　下界　〜　２√（πｎ）／４^n

　　上界　〜　√（πｎ）／２^n

で与えられる．

　

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【３】雑感

　

　（その２）では，

　　　　　　４　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　

　　１−２−３−５−６−７−８　　（Ｅ8 ）

より，隣接行列式

　　｜２　１　０　０　０　０　０　０｜

　　｜１　２　１　０　０　０　０　０｜

　　｜０　１　２　１　１　０　０　０｜

　　｜０　０　１　２　０　０　０　０｜

　　｜０　０　１　０　２　１　０　０｜

　　｜０　０　０　０　１　２　１　０｜

　　｜０　０　０　０　０　１　２　１｜

　　｜０　０　０　０　０　０　１　２｜

を得て，行列式の値が１となることを確かめました．

　

　それでは番号を付け替えて，

　　　　　　１

　　　　　　｜

　　２−３−４−５−６−７−８　　（Ｅ8 ）

とすると，どうなるのでしょうか？

　

　当然，隣接行列式は

　　｜２　０　０　１　０　０　０　０｜

　　｜０　２　１　０　０　０　０　０｜

　　｜０　１　２　１　０　０　０　０｜

　　｜１　０　１　２　１　０　０　０｜

　　｜０　０　０　１　２　１　０　０｜

　　｜０　０　０　０　１　２　１　０｜

　　｜０　０　０　０　０　１　２　１｜

　　｜０　０　０　０　０　０　１　２｜

になりますが，行（列）の入れ替えや１つの行をスカラー倍して他の行（列）に加えることによって，行列式の値が１になることを確認することができます．

　

　なお，多項式ｘ^2−ｙ^(k+1)＝０が原点に定める特異点をＡk型有理特異点と呼びます．とくに，局所座標系によりｘ^2−ｙ^2＝０と書ける曲線の特異点をＡ1型有理特異点（または通常２重点）と呼びます．

　

　たとえば，ネフロイド：

　　ｙ＝−（１／２＋ｘ^(2/3)）（１−ｘ^(2/3)）^(1/2)

　　　＝−１／２＋３／４ｘ^(2/3)（１＋３／４ｘ^(2/3)＋・・・）

は平行光線が円の内側で反射されるときの包絡線なのですが，右辺の括弧内はｘ＝０の近くでは０でないので，これをＣとおき，

　　Ｘ＝（３Ｃ／４）^(3/2)ｘ，Ｙ＝−（ｙ＋１／２）

と変数変換すると，

　　Ｘ^2−Ｙ^3＝０

となって，Ａ2型有理特異点と呼ばれるものであることがわかります．

　

　また，多項式ｘ^2ｙ−ｙ^(k-1)＝０（ｋ≧４）が原点に定める特異点はＤk型有理特異点，ｘ^3−ｙ^4＝０はＥ6型有理特異点，ｘ^3−ｘｙ^3＝０はＥ7型有理特異点，ｘ^3−ｙ^5＝０はＥ8型有理特異点と呼ばれます．

　

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［補］最密球充填と最疎球被覆の年表

　

ｎ　　　ルート　　球充填密度

２　　　Ａ2　　　π／２√３＝０．９０６（ラグランジュ1773，ガウス1831）

３　　　Ａ3　　　π／３√２＝０．７４０（ガウス1831）

４　　　Ｄ4　　　π^2／１６＝０．６１７（Korkine,Zolotareff,1872）

５　　　Ｄ5　　　π^2／１５√２＝０．４６５（Korkine,Zolotareff,1877）

６　　　Ｅ6　　　π^3／４８√３＝０．３７３（Blichfeldt,1925）

７　　　Ｅ7　　　π^3／１０５＝０．２９５（Blichfeldt,1926）

８　　　Ｅ8　　　π^4／３８４＝０．２５４（Blichfeldt,1934）

　

ｎ　　　ルート　　球被覆密度

２　　　Ａ2~　　　２π／√２７＝１．２０９（Kershner,1939）

３　　　Ａ3~　　　５√５π／２４＝１．４６４（Bambah,1954）

　

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