リー群とリー代数（その３）

　強い相互作用がＳＵ（３）リー代数と関係づけられ，ユニタリー群の表現論が素粒子の対称性に用いられるようになった１９５９年以来，物理学者たちはより高い対称性の群を追求し始め，現在ではクォークの基本的運動状態をゲージ理論と呼ばれる理論で記述できるまでになりました．

　そして，粒子の対称性を表すＳＵ（ｎ）のようなリー群と統合させて，ヤン・ミルズ場の理論が提唱されたのですが，電磁場はとくに一番簡単なＳＵ（１）すなわち絶対値１の複素数ｅｘｐ（ｉθ）全体からなる乗法群の場合に相当します．また，ＳＵ（５）はＳＵ（３）とＵ（１）×ＳＵ（３）を含む最小の単純群であることから，すべての素粒子の相互作用はＳＵ（５）にぴったりあてはまることもわかってきました．

　こうして，強い相互作用，弱い相互作用，電磁相互作用がひとつのリー代数に関係づけられ，大統一理論（ＧＵＴ）としてまとめあげられています．現在の課題はなぜこのような性質のクォークがあるのか，その答えを求めるとともに，重力まで含めた統一的な世界像を模索している段階にあるのです．

　２次元特殊ユニタリー群ＳＵ（２）は，複素ユニタリー２×２行列で行列式１なるもの全体です．

　こうしてもっとも簡単な非可換リー代数ｓｕ（２）は，一般に３つの基底Ｔiからなる反対称交換関係

　回転群の基底はこの反対称交換関係を満たしているのですが，１９２５～２６年には，電子は単なる質点ではなく自転によるスピン角運動量±１／２をもつことがわかっていて，この関係は角運動量代数としてよく知られています．

　この群がｓｕ（２）と呼ばれるものですが，基底は一意ではなく，たとえば，ＳＯ（３）の回転群に一致させるためにパウリ行列に±ｉ／２を乗じた行列も基底となります．

　この場合もＪ1，Ｊ2，Ｊ3はｓｕ（２）の基底をなし，ｓｕ（２）の構造を完全に決定します．この基底は反対称交換関係ではなく，

　ＳＵ（３）は行列式が１の３×３ユニタリー行列のなす群です．λiをその基底とすると，それらはエルミート行列にとることができて，トレースが０の３×３エルミート行列になります．トレースが０の制限は行列式が１という条件からくるものです．

　これらのうちでλ1，λ2，λ4，λ5，λ6，λ7は非対角行列であり，σx，σy，σzに新たな行と列をつけ加えたものになっています．とくにλ1，λ2，λ3の３つはＳＵ（３）の中でアイソスピン部分群と呼ばれるＳＵ（２）部分代数を生成します．

となります．また，パウリのスピン行列はアイソスピン行列γiと単位行列Ｅ2から構成されるものでしたが，ゲルマン行列の場合，Ｅ2に相当するものは

に対応するのがゲルマン行列であって，パウリのスピン行列に類似した８個の基底をもつのですが，一般にＳＵ（ｎ）のリー代数はトレース０の反エルミート行列からなり，それには線形独立なものがｎ^2－１個あります．

　ＳＵ（３）に対する議論はＳＵ（２）の場合よりも少し複雑になるだけのことであって，３×３のユニタリー行列は８個の独立な基底の線形結合によって生成されます．また，ＳＵ（３）対称性については，２個の正規直交基底を決めてルートを図示すると，それは六角形のパターンに８種類の粒子を配置した有名な「八道説」のダイアグラムによって表現されることになるのです．

　ｎ次直交群Ｏ（ｎ）のなかで行列式が１のものがｎ次特殊直交群ＳＯ（ｎ）です．ＳＯ（２）は

すなわち，平面の原点を中心とする回転のなす群です．２次元の直交変換はそのまま平面の回転なので，平面の回転では回転行列Ｒ

　空間を回転させる行列で直交変換となっているもの，すなわち，パラメータ数が３つの「回転」かつ「直交」行列として

　(1)はｚ軸まわりの回転α→新しいｙ軸まわりの回転β→新しいｚ軸まわりの回転γ，(2)はｚ軸まわりの回転φ→新しいｙ軸まわりの回転θ→新しいｘ軸まわりの回転ψの３段階によって表すもので，３番目の回転軸が異なるだけで両者に本質的な違いはありません．ここでは(2)を示しますが，

　３次元の回転についてもこのように簡単な表現はないものでしょうか？　そこで，これからしばらくの間，無限小生成子と呼ばれる方法を紹介したいと思います．

が得られます．物理学者はこの行列をしばしば無限小生成子と呼びます．無限小回転を表す行列という意味なのですが，数学的には直交群の単位行列Ｅにおける接ベクトルとして与えられるものです．

　３次元の回転群についても同様の方法を適用し，微分により無限小生成子を求めると（ψ，θ，φ）角に対応した３つの無限小生成子

　Ａ’Ａ＝Ｅ，｜Ａ｜＝１を満たす３×３正方行列Ａは特殊直交群ＳＯ（３）をなします．また，ＳＯ（３）のリー代数は３次元の反対称行列で，

　この一致はＳＵ（２）とＳＯ（３）の緊密な関係を示唆しているのですが，ＳＵ（２）の基底としてＪ1，Ｊ2，Ｊ3を採用すると，

　このようにして写像：ＳＵ（２）→ＳＯ（３）が得られるのですが，複素数は２変数ですから，複素数上２次元のＳＵ（２）は実数上４次元であって，３次元球面（４次元超球の表面）：Ｓ^3と同じトポロジーをもち（同相），ＳＯ（４）の部分群と考えることができます．

において，ＳＯ（３）はＳＵ（２）によって２重に被覆されることになります．スピノル群は特殊直交群の２重被覆群になっているというわけです．

　この対応関係を用いて，粒子のスピンをＲ^3のベクトルに対応させることができます（回転群の２価表現）．こうしてスピン１／２をもつ素粒子はＳＵ（２）の既約ベクトル空間の元によって表されるのですが，それがスピノル表現（パウリ行列の一般化）をもつということであって，ベクトルが３６０°回転してやると元に戻るのに対して，スピノルは３６０°回転させると反対向きになり，７２０°回転させてやるとはじめて元に戻る量となるのです．

　スピノルが１回転すると符号をかえるのはＳＯ（３）に埋め込まれたＳＵ（２）が２重被覆を与えるから・・・のごとき説明は実にややこしいのですが，現実にＳＵ（２）の表現に属する素粒子が存在するわけで，自然界においてはＳＵ（２）がＳＯ（３）よりももっと基本的な群と位置づけられています．

　なお，ベクトルの外積はＳＯ（３）とＳＵ（２）の両方に群に対応するリー代数です．回転とベクトルの対応は，ＳＯ（３）の場合，次元が３でそれが作用するベクトル空間が３次元であるという偶然のおかげで都合よく同一視することができました．しかし，たとえばＳＯ（４）では次元が６でそれが作用するベクトル空間Ｒ^4が４次元なので，そのような同一視はできません．

　まず最初に昔なつかしい「ベクトル」を思い出して頂き，「ベクトルの外積」の大きさ，すなわち，２つの２次元ベクトル

で与えられます．内積の行列式で定義される行列式をグラムの行列式（グラミアン）といいます．平行四辺形の面積はグラミアンの平方根に等しくなるというわけです．これを座標を使って表せば，

上の行から，単位ベクトル，ａ↑の成分，ｂ↑の成分の順に並ぶというわかりやすい形に整理できます．

　これは，ｎ（ｎ－１）／２次元ベクトルの長さの形をしているのですが，空間の次元が３のときだけ，運よく３次元ベクトルが得られていることがおわかり頂けたしょうか？　この事実は，外積が３次元ベクトルでしか定義できないことを示しています．

　ベクトルの外積は３次元特有のもので，２次元でも４次元でもだめなのですが，ほとんどの物理現象は３次元空間で生じますから，これでも汎用性は高いというわけです．

と表されるのと対照的です．もっとも４次元以上では２つのベクトルａ↑，ｂ↑の張る平面に直交する方向は一義ではなくなるので，話がおかしくなってしまうのですが・・・．

すなわち，対角行列となるような直交行列Ｒを見つけて標準形に変換することを考えます．ところが，実際にやってみると複雑すぎて，非対角要素を０とする３つのパラメータθ，φ，ψを決定することはできそうにありませんでした．→コラム「ロボットアームと６次元楕円体」