自然界の法則，とりわけ連続性と考えられてきた自然の深層構造については，物質の不連続性（原子），電気の不連続性（電気素量ｅ），エネルギーの不連続性（ｈν）という自然の秘密・究極構造は長い歴史の中で次第に暴かれてきました．近年，物質の量子化はクォークへと達し，それに伴って電気素量についても1/3ｅのオーダーの話に至っています．

　

　かなり前のことになるのですが，初めてクォークに関する本を読んだとき，８種類の素粒子を六角形のパターン上に配置した図に眼を奪われた記憶があります．そのときはまったく理解できなかったのですが，それがかの有名な「八道説」のダイアグラムであり，この六角形はＡ2型のルート系とまったく同じものです．

　

　このような対称性はＳＵ（３）のリー代数として定義されるものです．そしてＳＵ（３）の８次元表現の基底に対応させることによって対称性を論じる方法をゲルマンとネーマンの八道説といいます．１９６１年，八道説が発表された当時にはまだ発見されていない粒子が空席として残されていたのですが，１９６４年，Ω-粒子の存在が確認されたことによってダイアグラムの空席は埋められ，予言は見事に的中しました．それ以来，リー群の理論は物理学者とくに素粒子論研究者の不可欠の道具になっています．

　

　物理の世界では，空間の構造の対称性を表すのにリー群がよく使われます．リー群は様々な現象の対称性を記述するための道具といっても差し支えないのですが，現在，リー群・リー代数は，素粒子物理学のゲージ理論，大統一理論において根本的な役割を果たしています．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

【１】リー群

　

　実数や複素数，行列は群の例であって，たとえば，Ｒ^nはベクトルの加法により可換群となり，行列は乗法のもとで非可換群をなします．ｎ次の正方行列ＧＬ（ｎ）の場合について述べると，ＧＬ（ｎ）は行列の乗法のもとで群をなすわけであって，ｎ次一般線形群と呼ばれます．

　

　リー群はノルウェーの数学者リーにちなんでこの名前がある特別な群であって，もともとは多様体の無限小近傍の線形近似（連続群）として考えられたものです．たとえば，絶対値１の複素数

　　ｅｘｐ（ｉθ）＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ

は積を算法としてリー群（パラメータθを連続的に変化させることによって，無限に多くの要素を含んでいる群）となります．その意味で，Ｘを行列として

　　ｅｘｐ（ｉαＸ）

の形に書くことができるものがリー群なのです．

　

　ところで，古典型リー群には

　　特殊線形群：ＳＬ（ｎ）＝｛Ｘ｜ｄｅｔ（Ｘ）＝１｝

　　直交群：Ｏ（ｎ）＝｛Ｘ｜Ｘ’Ｘ＝Ｅn｝

　　斜交群：Ｓｐ（ｍ）＝｛Ｘ｜Ｘ’ＪmＸ＝Ｊm｝

　　　　Ｊm ＝［０，　Ｅm］

　　　　　　　［−Ｅm，０］

などが含まれますが，これらの古典線形群以外の古典線形群をすべて包括するのが単純リー群です．

　

　なお，Ｓｐ（ｍ）は四元数と密接な関係があり，

　　ＳＵ（ｎ，Ｋ）＝ＳＯ（ｎ）・・・Ｋ＝Ｒ（実数）

　　　　　　　　　＝ＳＵ（ｎ）・・・Ｋ＝Ｃ（複素数）

　　　　　　　　　＝Ｓｐ（ｎ）・・・Ｋ＝Ｈ（四元数）

のような関係になっています．→［補］

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

【２】リー代数（リー環）

　

　次に，リー代数（リー環とも呼ばれる）を定義してみましょう．元来は多様体の局所構造から大域構造を探るための幾何学的な道具なのですが，ここでは幾何学的にではなく代数的（抽象的）に定義してみます．

　

　その定義はいくつかの条件が満たされていなければならないので，通常の群よりもずっと複雑になりますが，２つの元Ｘ，Ｙに対して，Ｘ＋Ｙという和の他に，［Ｘ，Ｙ］という演算を

　　［Ｘ，Ｙ］＝ＸＹ−ＹＸ

と定義し，交換子積（括弧積，ブラケット積）と呼びます．そして，２つの元の交換子積も元となるもの（交換子で閉じたもの）がリー代数です．

　

　この関係は，ハイゼンベルグの行列力学

　　ｑｐ−ｐｑ＝ｉｈ／２π

を想起させますが，この定義より

　　［Ｘ，Ｘ］＝０

　　［Ｙ，Ｘ］＝−［Ｘ，Ｙ］

が成立することがわかります．ベクトルの外積（反対称テンソル）

　　［ａ，ｂ］＝ａ×ｂ

をもつベクトル空間Ｒ^3はその例で，ベクトルの外積はＳＯ（３）とＳＵ（２）の両方に群に対応するリー代数となっています．

　

　一般に，行列のかけ算は非可換なので

　　［Ｘ，Ｙ］＝ＸＹ−ＹＸ≠０

ですが，［Ｘ，Ｙ］＝０となっているとき，可換リー代数といいます．

　

　まとめますと，リー代数とは［，］と書かれる行列交換子が双線形乗法則

　　［ａＸ＋ｂＹ，Ｚ］＝ａ［Ｘ，Ｙ］＋ｂ［Ｙ，Ｚ］

　　［Ｘ，ａＹ＋ｂＺ］＝ａ［Ｘ，Ｙ］＋ｂ［Ｘ，Ｚ］

という規則を満たすベクトル空間であって，ＧＬ（ｎ，Ｒ）の場合はｎ^2次元のベクトル空間となります．また，リー代数では，３項の巡回置換に対して

　　［Ｘ，［Ｙ，Ｚ］］＋［Ｙ，［Ｚ，Ｘ］］＋［Ｚ，［Ｘ，Ｙ］］＝０

が成立します．この美しい式は「ヤコビの恒等式」と呼ばれます．

　

　リー代数の交換子積は群の非可換性を無限小において表すものと考えられるのですが，リー群と１対１に対応しそれによりリー群の大域的な構造をほとんど決定してしまうことになります．このリー群とリー環の驚くべき対応がいわゆるリーの理論（リーの定理）と呼ばれるものです．

　

　なお，結合法則が成り立たない数の体系（非結合的な体）としては，八元数，リー代数，ジョルダン代数の３つが代表的です．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

　すべてのリー群にはリー代数が付随します．リー群に対応するリー環はドイツ文字の小文字を用いて表されるのが通例となっているようですが，ここでは通常の小文字で代用します．

　　［参］佐藤肇「リー代数入門」裳華房

から，古典型リー代数の例を拾い上げてみましょう．

　

　行列Ｘの対角成分の和をＴｒ（Ｘ）で表すと，ｎ次特殊線形群ＳＬ（ｎ）に対応するリー環は

　　ｓｌ（ｎ）＝｛Ｘ｜Ｔｒ（Ｘ）＝０｝

で定義されます．トレースが０という制限は行列式が１という条件からくるものなのですが，自由度を１だけ減らすため，ｎ^2−１次元のリー代数になります．

　

　また，正方行列Ｊを１つ固定して

　　｛Ｘ｜Ｘ’Ｊ＋ＪＸ＝０｝

と定めます．このとき，Ｊ＝Ｅn（単位行列）とおくと，ｎ次直交群に対応するリー環

　　ｏ（ｎ）＝｛Ｘ｜Ｘ’＋Ｘ＝０｝

は交代行列（Ｘ’＝−Ｘ）全体のなす群で，次元がｎ（ｎ−１）／２のｎ次直交リー代数と呼ばれます．

　

　さらに，単位行列をブロック状・反対称に配した行列

　　Ｊ＝［０，　Ｅm］

　　　　［−Ｅm，０］

をとると，

　　Ｓｐ（ｍ）＝｛Ｘ｜Ｘ’Ｊ＋ＪＸ＝０｝

はｍ次シンプレクティックリー代数となります．このときの次元はｍ^2＋ｍとなります．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

【３】クリフォード代数

　

　クリフォード代数とは，反対称交換関係

　　［Γi，Γj］＝ΓiΓj＋ΓjΓi＝２δij

満たす行列Γの組のことで，δはクロネッカーのデルタです．

　　δij＝Ｅ（ｉ＝ｊ）

　　　　＝０（ｉ≠ｊ）

　

　交換子積

　　［Ｘ，Ｙ］＝ＸＹ−ＹＸ

は行列の積の非可換性を図るためのものなのですが，物理学における超対称性変換はリー環をなさないので，２つの超対称変換の非可換性を図るには交換子でなくて，反交換子を使う必要がでてきます．

　

　クリフォード代数の具体例をあげるために，コラム「因数分解の算法（その２）」から以下の部分を再録してみます．

　

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　

［１］パウリ行列

　

　行列を使うと円に相当するｘ^2＋ｙ^2が因数分解できたわけですから，さらに行列を使って球に相当するｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2も分解してみたい・・・．そして実際に，

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2

の因数分解を可能にするのが「パウリ行列」です．

　

　パウリ行列は

　　σx＝［０，１］　　　σy＝［０，−ｉ］　　　σz＝［１，　０］

　　　 　［１，０］　　　　 　［ｉ，　０］　　　　 　［０，−１］

の３組の２×２行列で与えられるのですが，いずれも２乗すると単位行列になります．

　　σx^2＝Ｅ2，σy^2＝Ｅ2，σz^2＝Ｅ2

　

　また，行列のかけ算は非可換なのですが，パウリ行列では，

　　σxσy＝ｉσz，σyσx＝−ｉσz

のように符号が逆となり，

　　σxσy＋σyσx＝Ｏ（ゼロ行列）

　　σxσy−σyσx＝２ｉσz

のような関係が成立します．

　

　ここで，行列

　　ｘσx＋ｙσy＋ｚσz＝［　　　ｚ，ｘ−ｙｉ］

　　　　　　　　　　　　 ［ｘ＋ｙｉ，　　−ｚ］

を考え，この行列を２乗してみます．すると，

　　（ｘσx＋ｙσy＋ｚσz）^2＝［ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2，０］

　　　　　　　　　　　　　　　 ［０，ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2］

　　＝（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）Ｅ

　

　結局，（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）Ｅという行列は，（ｘσx＋ｙσy＋ｚσz）^2に分解できたことになります．４元数を使わないとできなかった因数分解が，行列を利用すると分解できるトリックは，行列の成分として虚数単位を含んでいるうえに，行列自体にも虚数の働きがあり，普通の数にはない機能を２重に使っているからと考えられます．

　

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　

［２］ディラック行列

　

　パウリの行列において

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝ｒ^2

は３次元空間での球に相当するわけですが，歴史的にはパウリが基本粒子のスピンを数学的に表現するために考案したものです．この考えがヒントになって，ディラックが４次元時空における時間の項を加えた

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2

を因数分解するために「ディラック行列」を使いました．

　

　　αx＝［０，０，０，１］　　αy＝［０，　０，０，−ｉ］

　　　 　［０，０，１，０］　　　 　［０，　０，ｉ，　０］

　　　 　［０，１，０，０］　　　 　［０，−ｉ，０，　０］

　　　 　［１，０，０，０］　　　 　［ｉ，　０，０，　０］

　

　　αz＝［０，　０，１，　０］　　β＝［１，０，　０，　０］

　　　 　［０，　０，０，−１］　　　　［０，１，　０，　０］

　　　 　［１，　０，０，　０］　　　　［０，０，−１，　０］

　　　 　［０，−１，０，　０］　　　　［０，０，　０，−１］

　

　これらの４組の２×２行列をディラック行列と呼ぶのですが，前項と同様に，

　　ｘαx＋ｙαy＋ｚαz＋ｔβ

　＝［　ｔ，　　０，　　ｚ，　ｘ−ｙｉ］

　　［　０，　　ｔ，　ｘ＋ｙｉ，−ｚ　］

　　［　ｚ，　ｘ−ｙｉ，−ｔ，　０　　］

　　［ｘ＋ｙｉ，−ｚ　，０，　　−ｔ　］

　

　　（ｘαx＋ｙαy＋ｚαz＋ｔβ）^2

　＝［ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2，０，０，０］

　　［０，ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2，０，０］

　　［０，０，ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2，０］

　　［０，０，０，ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2］

　＝（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2）Ｅ

という関係が確かめられます．これで，（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2）Ｅという行列は，（ｘαx＋ｙαy＋ｚαz＋ｔβ）^2に分解できることがわかりました．

　

　ちなみに，ディラック行列をパウリ行列で表現すると，

　　αx＝［０，σx］　　αy＝［０，σy］　　αz＝［０，σz］

　　　 　［σx，０］　　　 　［σy，０］　　　 　［σz，０］

　

　　β＝［Ｅ2，　０］

　　　　［０，−Ｅ2］

　

　　ｘαx＋ｙαy＋ｚαz＋ｔβ＝［ｔＥ2，　ｘσx＋ｙσy＋ｚσz］

　　　　　　　　　　　　　　　 ［ｘσx＋ｙσy＋ｚσz，−ｔＥ2］

と表すことができます．

　

　このことから

　　αx^2＝Ｅ4，αy^2＝Ｅ4，αz^2＝Ｅ4，β^2＝Ｅ4

　

　　αxαy＋αyαx＝Ｏ（ゼロ行列）

　　αxαy−αyαx＝２ｉ［σz，０］

　　　　　　　　　　　　［０，σz］

　

　　αxβ＋βαx＝Ｏ（ゼロ行列）

　　αxβ−βαx＝２［０，−σx］

　　　　　　　　　　［σx，　０］

と計算されます．ディラック行列がパウリ行列に一工夫加えた様子を窺い知ることができるでしょう．

　

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　

　ここで述べたように，パウリ行列を

　　σ1＝［０，１］　　　σ2＝［０，−ｉ］　　　σ3＝［１，　０］

　　　 　［１，０］　　　　 　［ｉ，　０］　　　　 　［０，−１］

とすると，

　　σiσj＋σjσi＝２δij

すなわち，

　　σxσx＋σyσy＝２Ｅ2（ゼロ行列）

　　σxσy＋σyσx＝Ｏ（ゼロ行列）

が確かめられます．

　

　パウリ行列に続いて

　　γiγj＋γjγi＝２δij

を満たすγはｎ＝４で実現しますが，それがディラック行列というわけです．

　　αxαx＋αyαy＝Ｅ4

　　αxαy＋αyαx＝Ｏ（ゼロ行列）

　

　ディラック行列にはいろいろな記法があって，４行４列のγを２行２列のσを使って

　　γ0 ＝［ｉＥ2，　０］　　　γi ＝［０，σi］

　　　　　［０，−ｉＥ2］　　　　　　［σi，０］

と表したもの，γ0＝ｉγ4と置き換えたもの，あるいは

　　β＝［Ｅ2，　０］　　　αi ＝［０，　　σi］

　　　　［０，−Ｅ2］　　　　　　［−ｉσi，０］

　　β＝−ｉγ0，αi＝γ0γi

と定義して，このαiとβの４つで表したもの等々．

　

　ともあれ，

　　ξiξj＋ξjξi＝２δij

なる関係式があれば，ξはクリフォード代数をなすというわけです．

　

　ここで述べたことはパウリ行列の一般化にほかならないのですが，物理学への応用についていえば，２次元複素空間の任意の基底ベクトル（スピノルと呼ばれる）は電子のスピン状態を記述するのに用いられ，また，クリフォード代数としての取り扱いの中から，スピンが半整数のフェルミ粒子，整数スピンをもつボーズ粒子が導かれています．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

［補］複素数と行列

　

　平面の回転行列は

　　［ｃｏｓθ，−ｓｉｎθ］

　　［ｓｉｎθ，　ｃｏｓθ］

の形に書けます．

　

　ある複素数に虚数単位ｉをかけると

　　ｚｉ＝（ｘ＋ｙｉ）ｉ＝−ｙ＋ｘｉ

となり，この操作は９０°回転に対応することがわかります．そこで，回転行列にθ＝π／２を代入すると

　　Ｊ＝［０，−１］

　　　　［１，　０］

となります．

　

　複素数平面でｉが果たす役割と行列Ｊが果たす役割は等しいのですが，実際にこの行列を２乗すると

　　Ｊ^2＝［１，０］＝−Ｅ

　　　　　［０，１］

となって，虚数のもっている性質を備えていることがわかります．

　

　このことを踏まえると，複素数に対応した行列を導入することができます．

　　Ｚ＝ｘＥ＋ｙＪ＝［ｘ，−ｙ］

　　　　　　　　　　［ｙ，　ｘ］

ここで，

　　Ｅ＝［１，０］　　　Ｊ＝［０，−１］

　　　　［０，１］　　　　　［１，　０］

　

　　Ｚ’＝ｘＥ−ｙＪ＝［　ｘ，ｙ］

　　　　　　　　　　　［−ｙ，ｘ］

　

　　Ｚ・Ｚ’＝［ｘ^2＋ｙ^2，０］＝（ｘ^2＋ｙ^2）Ｅ

　　　　　　　［０，ｘ^2＋ｙ^2］

ですから，（ｘ^2＋ｙ^2）Ｅという行列が（虚数単位ｉを陽に用いることなしに）行列Ｚと行列Ｚ’の積に分解できたことになります．

　

　また，オイラーの公式

　　ｅｘｐ（ｉθ）＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ

を行列で表現すると

　　ｅｘｐ（Ｊθ）＝（ｃｏｓθ）Ｅ＋（ｓｉｎθ）Ｊ

　　　　　　　　　＝［ｃｏｓθ，−ｓｉｎθ］

　　　　　　　　　　［ｓｉｎθ，　ｃｏｓθ］

となって，確かに回転行列になっていることがわかります．

　

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　

［補］４元数と行列

　

　積の交換法則が成り立たない代数として「行列」があります．

　　Ｅ＝［１，０］　　　Ｊ＝［０，−１］　　　Ｊ^2＝−Ｅ

　　　　［０，１］　　　　　［１，　０］

とおけば，

　　Ａ＝［ａ1，−ａ2］

　　　　［ａ2，　ａ1］

は

　　Ａ＝ａ1Ｅ＋ａ2Ｊ

と表されます．

　

　　Ａ＝ａ1Ｅ＋ａ2Ｊ，Ｂ＝ｂ1Ｅ＋ｂ2Ｊ

の形の行列全体は加法および乗法に関して閉じています．

　　Ａ＋Ｂ＝（ａ1＋ｂ1）Ｅ＋（ａ2＋ｂ2）Ｊ

　　ＡＢ＝（ａ1ｂ1−ａ2ｂ2）Ｅ＋（ａ1ｂ2＋ａ2ｂ1）Ｊ

乗法の可換性は成立しません．すなわち，［１］節では行列による表現を利用して複素数を導入したわけですが，類似の方法で４元数を行列の中に実現させる方法もあります．

　

　　Ｅ＝［１，０，０，０］

　　　　［０，１，０，０］

　　　　［０，０，１，０］

　　　　［０，０，０，１］

　

　　ｉ＝［０，−１，０，　０］　　ｊ＝［０，　０，−１，０］

　　　　［１，　０，０，　０］　　　　［０，　０，　０，１］

　　　　［０，　０，０，−１］　　　　［１，　０，　０，０］

　　　　［０，　０，１，　０］　　　　［０，−１，　０，０］

　

　　ｋ＝［０，０，　０，−１］　　Ａ＝［ａ1，−ａ2，−ａ3，−ａ4］

　　　　［０，０，−１，　０］　　　　［ａ2，　ａ1，−ａ4，　ａ3］

　　　　［０，１，　０，　０］　　　　［ａ3，　ａ4，　ａ1，−ａ2］

　　　　［１，０，　０，　０］　　　　［ａ4，−ａ3，　ａ2，　ａ1］

とおけば

　　Ａ＝ａ1Ｅ＋ａ2ｉ＋ａ3ｊ＋ａ4ｋ

と書くことができます．

　

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　

　ＳＵ（２）を３次元球面：Ｓ^3と同一視するとき，

　　ａ＋ｂｉ＋ｃｊ＋ｄｋ　→　［　ａ＋ｂｉ　ｃ＋ｄｉ］

　　　　　　　　　　　　　　　［−ｃ＋ｄｉ　ａ−ｂｉ］

　

　　ａ＝［　ａ1＋ａ2ｉ，ａ3＋ａ4ｉ］

　　　　［−ａ3＋ａ4ｉ，ａ1−ａ2ｉ］

　　Ａａ＝［　ｘ1’＋ｘ2’ｉ，ｘ3’＋ｘ4’ｉ］

　　　　　［−ｘ3’＋ｘ4’ｉ，ｘ1’−ｘ2’ｉ］

とすると，Ｒ^4での１次変換は

　　ｘ1’＝ａ1ｘ1−ａ2ｘ2−ａ3ｘ3−ａ4ｘ4

　　ｘ2’＝ａ2ｘ1＋ａ1ｘ2−ａ4ｘ3＋ａ3ｘ4

　　ｘ3’＝ａ3ｘ1＋ａ4ｘ2＋ａ1ｘ3−ａ2ｘ4

　　ｘ4’＝ａ4ｘ1−ａ3ｘ2＋ａ4ｘ3＋ａ1ｘ4

となりますから，Ｒ^4の標準基底による行列表示は

　　Ａ＝［ａ1，−ａ2，−ａ3，−ａ4］

　　　　［ａ2，　ａ1，−ａ4，　ａ3］

　　　　［ａ3，　ａ4，　ａ1，−ａ2］

　　　　［ａ4，−ａ3，　ａ2，　ａ1］

　

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　

　以上のように，ハミルトンの４元数をＳＵ（２）行列の一部だと考えて，

　　ａ＋ｂｉ＋ｃｊ＋ｄｋ　→　［　ａ＋ｂｉ　ｃ＋ｄｉ］

　　　　　　　　　　　　　　　［−ｃ＋ｄｉ　ａ−ｂｉ］

のように，４元数と２×２行列を対応させると，４元数の演算はそのまま行列の演算に移行します．さらに，ｃ＝ｄ＝０の場合を考えると，複素数も行列とみなせるというわけです．

　

　この体系では，４元数同様，

　　ｉ^2＝−Ｅ，ｊ^2＝−Ｅ，ｋ^2＝−Ｅ，

　　ｉｊ＝ｋ，ｊｋ＝ｉ，ｋｉ＝ｊ，

　　ｊｉ＝−ｋ，ｋｊ＝−ｉ，ｉｋ＝−ｊ

なる性質をもっていて，加法および乗法に関して閉じています．また，乗法の可換性は成立しません．

　

　この体系を用いると，

　　（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）Ｅ＝−（ｘｉ＋ｙｊ＋ｚｋ）^2

　　（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2）Ｅ＝（ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ＋ｗｋ）（ｘ−ｙｉ−ｚｊ−ｗｋ）

のように，虚数単位ｉを陽に用いることなしに２つの行列の積に分解できますが，それでは４元数そのままであって，虚数単位ｉを使ったパウリ行列やディラック行列よりも面白味に欠けるかもしれません．

　

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−