空間分割と１４面体

　形態形成のバイオメカニズムについては，すでにダーシー・トムソンによる詳細な研究があり，その精緻な方法論は「生物のかたち」（東京大学出版会）に集約されています．本邦において，この種の研究を専門とする研究者は極めて少数であり，日本の形態学は非常に立ちおくれていると思っておりました．

　ところが，つい最近，諏訪紀夫「病理形態学原論」（岩波書店）を知るに至り大変な感銘を受けました．私の知る限り，諏訪先生の優れた業績はこの種の研究としてはもっとも完成度の高いもので，その理論的解析はすでに行き着くところに行き着いているという感さえあります．これから説明する「空間分割と１４面体」は氏の研究の受け売りであること，このコラムの内容も同書に負うところが大きいことをお断りしておきます．

　３次元の球の詰め込み問題について，１個の球に何個の同じ大きさの球が接しうるか？　証明は簡単でないから省略しますが，最小６から最大１２までになります．１つの球には同時に１２個の球しか接することができないのです．また，規則的な配置の空間充填率は，理論的に計算することができ，

　一方，球がある限られた空間内に乱雑に配置された状態では，理論的には計算できず実測にたよることになります．乱雑配置の場合，接触数の平均は約８．５，空間充填率は約６３．６％という実測値が求められています．

　つぎに，乱雑配置状態で等方的に圧縮すると，空間は多面体によって分割充填されることになります．この状態を球のrandom packingといいます．random packingには，randomとはいっても，いくつかの重要な規則性がみられます．たとえば，球をrandom packingしたときの多面体の面数は１４面，面の形は五角形がもっとも多いことなどが知られています．したがって，random packingという用語は誤解を招きやすく，あまり適当なものではありません．しかしながら，面の数などは一義的には決まらず，統計的にしか扱えないというのがrandomの所以であり，空間分割の幾何学的研究を困難としている最大の原因となっています．

　ザクロ，ハチの巣，石鹸の泡などのように，空間がある立体（多面体）によって分割される空間分割は，生物と無生物を問わず，自然界に広く見られる現象です．生物材料や石鹸の泡などでは，１４面体の空間分割構造が実際に観察されますが，ここでは１４面体が得られる理由について考えてみることにしましょう．

　分割多面体の面数ｆがどの範囲におさまるかを証明することは困難と思われますが，６～１２までの接触数のすべての場合を通じて，接触球が規則的な配置をとる仮定すれば，面の数ｆは最大１８，最小１０であることが誘導されます．したがって，等しい大きさの球のrandom packingから出発する分割多面体の面数ｆ＝１４±４という値は，１４面体が最も多いとする実験的研究から得られた値を裏付ける１つの根拠を与えてくれます．

　空間分割では，３つの界面が交わって１つの稜線，４つの稜線が集まって１つの頂点が構成されます．その際，多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，

となります．つまり，面の数ｆが与えられれば辺数ｅと頂点数ｖは一義的に決まる性質をもっており，また頂点数ｖは必ず偶数になることもわかります．

　以下，１４面体の幾何学的性質について少し調べてみましょう．ここで，ｆ＝１４とおくと，ｖ＝２４，ｅ＝３６となります．つぎに，面が何角形になるかを求めてみると，これはもちろん１通りではありませんが，１本の辺は２個の面によって共有されることを考慮し，各頂点に平均してｐ角形がｑ面が会するとすると，ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅより，その平均辺数ｐと平均会合面数ｑは

を得ることができます．このことから，１４面体の面のかたちについては，必然的に辺数５を中心とする分布をなすことはが示唆されます．このことは，経験的に５角形の頻度が最も高いという観察結果に一致しますが，後にこれが重要な意味をもってきます．

　１８８７年，ケルビン卿（ウィリアム・トムソン）は１４面体の集合によって空間を満たすことができ，そのときの界面積は菱形十二面体（rhombic dodecahedoron）で満たしたときより小さいことを発見しました．すなわち，１４面体は表面張力を最小とする空間分割構造であると考えることができます．

　この１４面体（α-１４面体）は，３対の合同な四角形の面と４対の合同な６角形の面とで囲まれています．最も簡単な場合は，６個の正方形と８個の正六角形とからなり，すべての辺の長さが等しいもの，すなわち，切頂八面体（truncated octahedron）です．切頂八面体は１６種ある準正多面体（アルキメデス体）のひとつです．→【補】

　切頂八面体とα-１４面体の関係は，立方体と平行六面体の関係に相当します．たとえば，諏訪氏の「病理形態学原論」には，α-１４面体の代表例として８個の合同な六角形，４個の合同な平行四辺形，２個の合同な矩形の面をもち，面はすべて平面となる立体が収載されています．このようなα-１４面体は無限にありますが，とくに，すべての辺の長さの等しいものは，ケルビンの１４面体と呼ばれています．ケルビンの１４面体は切頂八面体をやや引き伸ばした形であって，切頂八面体のような等方１４面体の条件は満足されませんが，単一の多面体による空間分割は可能です．

　α-１４面体は，長い間，単一の多面体で空間を隙間なく分割しうる唯一のものと信じられてきました．面を平面にするという条件下にはこれは今日でも通用することです．しかし，その条件を外せば，空間充填１４面体にはもう１種類あることを，１９６８年になってウィリアムズが報告しています．これがβ-１４面体ですが，この間，実に１世紀近い年月の隔たりがあります．

　β-１４面体は，８個の合同な五角形と４個の合同な六角形と２個の合同な四角形をもち，それらの面は必ずしも平面である必要はありません．正方形の面は平面にできるのですが，その他の面はいずれも曲面（凸面，凹面，Ｓ字状の湾曲した曲面など）になります．

　α-１４面体に比較しても，辺が曲線になったり，面が曲面を含む点で幾何学的性質の単純さは劣りますが，五角形の面をもつという利点があります．すでに説明したように，分割多面体では５角形の面が最も多いのですが，α-１４面体はまったく５角形の面をもちませんから，β-１４面体のほうが空間分割のある側面をよく表していると考えることができます．

　β-１４面体のほうが形の上で実際に近いとはいっても，それだけでモデルの優劣を判断するわけにはまいりません．しかし，平面に投射した形を考えてみると，β-１４面体による空間充填は，スケールを大きくとることによって，５角形による平面充填配列（タイル張り）に近づいていきます．一方，α-１４面体を平面のタイル張りに還元するには，かなり著しい変形を加えなければなりません．このことは，血管の分岐様式が二分岐になるためのモデルとして，多面体が奇数の辺をもつβ-１４面体のほうが都合がよいことを意味していて，諏訪氏はβ-１４面体の存在理由を非常に重要なものと考えています．

　実は，私自身，２次元の図形情報を３次元空間に昇華させる方法について，諏訪先生の研究を知らないままにいろいろ悩んでいたのですが，「病理形態学原論」の読後，目からうろこ状態になったことを申し添えておきます．２０年前に書かれた「原論」は，今日でも若い学徒たちへの入門書として極めて高い価値をもっていると思われたからです．

　興味深いことに，諏訪先生の研究は，問題点は何か・それをどう解決すべきかという実際的な問題意識から出発して発展した形態学的研究のもっとも顕著な例の１つであるということです．にもかかわらず「原論」はいまだ認識されているとはいいがたい著書です．何も医学・生物学に限ったことではありませんが，関連分野に「原論」の普及を促したいものです．

　諏訪先生はすでに故人となられましたが，このコラムの記述が先輩医学者とその著書から得た知識のまったくの受け売りであるとしても，きっと了承して下さるに違いありません．

が成り立ちます．これは３次元立体について，０次元の特性数であるｖ，１次元の特性数であるｅ，２次元の特性数であるｆの関係を述べたものと解釈されます．

　量（ｖ－ｅ＋ｆ）はオイラー標数と呼ばれます．オイラー標数は幾何学において重要な概念である位相不変量の草分けであり，一般に，図形がいくつかの３角形によって分割されているとき，

は分割の仕方によらず定まり，図形に固有な量になるというものです．例えば，平面図形（多角形）は，１つの面が無限大となって全体が一面に広がってしまった正多面体と解釈することができますから，オイラー標数は１となり，また，種数（穴の数）ｇの向き付け可能な閉曲面の場合は２－２ｇとなることはよく知られています．

に等しいというのが，オイラー・ポアンカレの内容ですが，ベッチ数とは，形には関係しないで，接触と分離にだけ関係するトポロジカルな示性数で，簡単にいえば図形の中に潜む種々の次元の穴の数のことです．

　オイラーの定理が物理的作用と結びつくと，興味のある幾何学的効果が出現してきます．たとえば，２次元的にランダムに配列した石鹸の泡はいろいろなサイズの泡細胞からなっていますが，表面張力の要請から境界長を極小化しようとしますから，接合角度は１２０度となります（プラトー問題・最小シュタイナー木問題）．すなわち，石鹸の泡は各頂点の次数がすべて３である平面図形と考えることができます．

したがって，本文の場合と同様の議論：ｐｆ＝２ｅでもって，平均的な泡細胞の形は６角形を中心とした分布をなし，６辺以上の泡細胞を６辺以下の泡細胞と相殺させる必要性から６から遠ざかることはほとんどないに違いないということになります．

　また，オイラーの多面体定理で示される制限から，単一の凸ｎ角形で平面を敷き詰めるものはｎ≧７では存在しないこと，２次元以上ですべての頂点の次数が６以上となることは不可能であり，必ず次数が５以下の頂点をもつこと，また，３次元では１４以上の凹面細胞をもつことは許されないことなどが導き出されます．

　２次元の平面の中に正多角形は無限に多くあるのに反して，３次元の空間には無限に多くの正多面体は存在しません．正多面体の各面を正ｐ角形，各頂点にｑ面が会するとすると，頂点の周囲は４直角未満ですから，不等式

　凸多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，ｖ－ｅ＋ｆ＝２（オイラーの多面体定理）が成り立ちます．さらに，正多面体ではｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅが成り立ちますから，

　２ｐ＋２ｑ－ｐｑ＞０はｐとｑについて対称な式ですから，たとえば，ｐ≧ｑ≧３とすると，４≧２（１＋ｑ／ｐ）＞ｑ≧３より，ｐとｑの小さい方は必ず３，そこでｑ＝３とするとｐ＜６より大きい方は５以下であることがわかります．このような整数の組は（ｐ，ｑ）＝（３，３），（３，４），（３，５），（４，３），（５，３）の５通りで，それぞれ，正４面体，正８面体，正２０面体，正６面体，正１２面体に対応します．

　すなわち，正多面体は正４・６・８・１２・２０面体の５種類あって５種類しかないことはプラトンの時代にはすでに見つけられていて，それらがプラトンの自然哲学で重要な役割を演ずるところから，正多面体はプラトンの立体（Platonic solod）とも呼ばれています．

　正多面体が１種類の正多角形（正３角形，正方形，正５角形）だけでできているのに対して，２種類以上の正多角形から構成されている立体が準正多面体で，プラトンの立体に対してアルキメデスの立体（Archimedean solid）とも呼ばれています．準正多面体は合計１６種あります．アルキメデスは準正多面体のうちの１３個知っていましたが，残り３つのうち２つはカタラン，最後の１つはベールによって発見されています．正多角形，正多面体は円，球に内接・外接しますが，準正多面体は球に内接するだけで外接しません．

　凹型正多面体まで含めると，正多面体は全部で９種類あり，プラトンの立体と呼ばれる凸型５種類の他の４種類は，星形正多面体（ケプラーがみつけた星形小十二面体，大十二面体と約２００年後にポアンソがつけ加えた星形大二十面体，大二十面体の４種類）です．星形正多面体は４種類しかないことはコーシーが示しています．なお，同じ大きさの正４面体２個による相貫体＜ケプラーの８角星＞はダビデの星の３次元版ですが，星形正多面体には加えません．

　さらに，一様多面体（準正多面体の星形化）は７５種類，ザルガラー多面体（すべての面が正多角形である凸多面体）は正多面体，準正多面体を除くと９２種類存在します．

　同じ大きさの正３角形２個のうち，１個を天地逆転させ，もう１個の正３角形に重ねると，星形６角形ができます．これはダビデの星と呼ばれて，イスラエルの国旗にも使われ，ユダヤ人の象徴とされています．

　星形６角形では内側に正６角形ができますが，外側のとがった角を結んでも正６角形ができます．すなわち，星形６角形は外側を正６角形が取り囲んでいて，内側にも正６角形が入っていることがわかります．

　この問題はダビデの星の３次元版です．同じ大きさの正４面体２個による相貫体にはケプラーの８角星という名前がつけられています．これらが頭の中でイメージできれば答は簡単で，外側に立方体（正方形６面），内側に正８面体（正３角形８面）をもつことがわかります．

　ついでに，立方体と正８面体，正１２面体と正２０面体の相貫体について考えてみましょう．立方体と正８面体の相貫体は，外側を菱形１２面体（直交する対角線の比が１：√２の菱形１２面）が，内側には立方８面体（正方形６面＋正３角形８面）が入っています．正１２面体と正２０面体の相貫体では，外側を包む立体が菱形３０面体（直交する対角線の比が黄金比になっている菱形３０面），内側には１２・２０面体（正５角形１２面＋正３角形２０面）という多面体が内包されているのです．

　正多面体の各面の中心（重心）を順に結んで立体を作ると，もとの正多面体と面と頂点の関係が逆向きの正多面体ができます．互いに表と裏の関係にある多面体を双対多面体といいます．正四面体ではふたたび正四面体ができ，正六面体では正八面体が，逆に正八面体では正六面体が，また，正十二面体では正二十面体が，逆に正二十面体では正十二面体ができます．したがって，正四面体は自己双対であり，正六面体と正八面体，正十二面体と正二十面体とは互いに双対です．このことにより，正多面体は，｛正四面体｝，｛正六面体と正八面体｝，｛正十二面体と正二十面体｝の３つのグループに大別することができます．

　３種類の相貫体－－正４面体と正４面体，立方体と正８面体，正１２面体と正２０面体－－について調べてみると，それぞれの立体の間に双対関係があり，３種類の相貫体の外側にできる立体と内側にできる立体－－立方体と正８面体，菱形１２面体と立方８面体，菱形３０面体と１２・２０面体も互いに双対関係をもっていることがわかります．そして，これらもやはり相貫体をつくることができ，そしてまたそこに現れてくる外側と内側の立体も双対関係になっています．頂点と面に関しての双対性にはうまくできているなと感嘆させられます．自然界の法則性，自然が作るきれいな関係の１例といえましょう．