■高次元の正多胞体（その５）
３次元正多面体が５種類あって５種類しかないことは，オイラーの多面体定理（ｖ−ｅ＋ｆ＝２）と握手定理（多面体の１つの頂点に集まる面の形と数をｐ，ｑとすると，ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅ）から簡単に証明できます．
高次元でも３次元と同様の方法によって正則胞体を定めることができるはずなのですが，いざ「４次元正胞体は６種類，５次元以上では３種類ある」ことを証明しようとすると簡単にはいきません．
４次元空間では，オイラー・ポアンカレの公式：
ｖ−ｅ＋ｆ−ｃ＝０
が成り立ちます．しかし，３次元のときとは違って，４次元（偶数次元）ではオイラー・ポアンカレの公式に定数項がないため，それだけでは頂点，辺，面，胞数の計算ができないという壁にぶつかるのです．
先日，神奈川県立図書館より
一松信「高次元の正多面体」日本評論社
を借用しこの連休を利用して通読することができたのですが，そこにはこの壁の突破の仕方が幾通りか触れられています．しかし，「ユークリッド空間の有限群（正多面体）または無限離散群（空間充填形）になるのは，４つの無限系列と６つの例外的な場合に限る」といった群論的な方法ではハードすぎて歯が立ちそうにありません．
そのため，この本でも基本単体数ｇとペトリー数ｈの対称性を利用して胞数を計量的に求めています．今回のコラムでは，以前に書いたコラム「４次元・５次元を垣間みる」を含め，これまでの一連のシリーズを新たに得た知識でもって補完したいと思います．
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【１】３次元の正多面体
正多角形は無限に多く存在しますが，それでは，
（問）互いに合同な正多角形を隙間も重なりもないように並べて平面を完全に埋める仕方が何通りあるでしょうか？
この問題は昔から知られていて，それが３種類に限ることは以下のようにして証明されます．
（答）正多角形の中で平面をタイル張りのように隙間なく埋めつくすことができる平面充填形では，各頂点に正ｐ角形がｑ面が会するとすると，正ｐ角形の一つの内角は２（１−２／ｐ）×９０°であり，一つの頂点の回りの内角の和はこれがｑ個集まって四直角ですから，
２ｑ（１−２／ｐ）＝４，すなわち，
１／ｐ＋１／ｑ＝１／２ （ｐ，ｑ≧３）
あるいは
λ＝１／ｐ＋１／ｑ−１／２＝０
で，この条件を満たす（ｐ，ｑ）の組は（３，６），（４，４），（６，３）の３通りしかありません．したがって，平面充填形は正三角形，正方形，正六角形の３つだけです．このうち正方形のは碁盤，正六角形のは蜂の巣などでおなじみでしょう．
２次元の平面の中に正多角形は無限に多くあるのに反して，３次元の空間には無限に多くの正多面体は存在しません．平面充填形は，面数が無限大となって全体が一面に広がってしまった正多面体と解釈することができますが，平面充填形の場合と同様にして，正多面体の各面を正ｐ角形，各頂点にｑ面が会するとすると，頂点の周囲は４直角未満ですから，不等式
２ｑ（１−２／ｐ）＜４，すなわち，
１／ｐ＋１／ｑ＞１／２ （ｐ，ｑ≧３）
（ｐ−２）（ｑ−２）＜４
が正多角形となる必要条件です．
このような整数の組は（ｐ，ｑ）＝（３，３），（３，４），（３，５），（４，３），（５，３）の５通りで，それぞれ，正４面体，正８面体，正２０面体，正６面体，正１２面体に対応します．すなわち，正多面体は正４・６・８・１２・２０面体の５種類あって５種類しかないことはプラトンの時代にはすでに見つけられていて，それらがプラトンの自然哲学で重要な役割を演ずるところから，正多面体はプラトンの立体（Platonic solid）とも呼ばれています．
λ＝１／ｐ＋１／ｑ−１／２＞０
ｖ＝２／ｑλ，ｅ＝１／λ，ｆ＝２／ｐλ
はそのための必要条件ですが，十分条件を得るには実際に構成してみることが要求されます．ご存知のように５種類とも実現可能で，さらにこれらは各面が正ｐ角形，各頂点が正ｑ角錐の凸正多面体になっています．
平面充填形はλ＝０の場合にあたっているので，広義の正多面体と考えることができます．また，広義の正多面体というと星形正多面体があります．凹正多面体にはケプラーとポアンソの発見した４種類の星形正多面体がありますが，このことは上記の方法では証明できません．
正多面体の変換群は，３種類の回転対称性：
正４面体群＝Ａ4（４個の要素からなる偶置換全体＝交代群）
立方体（正８面体）群＝Ｓ4（４個の要素からなる置換全体）
正１２面体（正２０面体）群＝Ａ5（５個の要素からなる偶置換全体）
に限られるのですが，コーシーは星形正多面体を定める証明に変換群を用いています（１８１１年）．
なお，３次元空間の回転対称性には，この他に，正ｎ角錐のもつ巡回群Ｃnと正ｎ角柱のもつ二面体群Ｄnがあります．桜の花はＣ5，雪の結晶はＣ6というわけです．
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【２】高次元の正多胞体
ｎ次元空間の正多胞体とは「ｎ個の超平面に囲まれ，全体の中心ｏnから各頂点ｏ0，各辺の中点ｏ1，各面の中心ｏ2，・・・，各超辺の中心ｏn-2，各超平面の中心ｏn-1までの距離がそれぞれ相等しく，そのｍ次元成分はすべてｍ次元の正多胞体である」と定義されます．
２次元の正多角形はその辺数ｐで，３次元の正多面体は面の辺数ｐと各頂点に会する面の個数ｑをペアにしたシュレーフリ記号（ｐ，ｑ）で表されます．それと同様に，ｎ次元正多胞体ではシュレーフリ記号を一般化して，ｎ−１次元超平面（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-2）が３次元低い構成要素上にｐn-1個ずつ会する，
（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-2，ｐn-1）
で表現されます．
たとえば，
ｎ次元正単体は（３，３，・・・，３，３），
双対立方体は（３，３，・・・，３，４），
超立方体は（４，３，・・・，３，３）
と表されます．これを逆順にした（ｐn-1，ｐn-2，・・・，ｐ1）で表される正多胞体が双対正多胞体です．
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また，ｏnｏn-1・・・ｏ1ｏ0を結んだｎ次元単体を基本単体と呼びます．ｏ0ｏ1，ｏ1ｏ2，・・・，ｏn-1ｏnは互いに直交するので，ｎ次元正多胞体の諸量を計算するための基本となっています．
基本単体の個数ｇは正多胞体にとって最も大切な基本量です．基本単体は隣同士が鏡像形であり，半分ずつが互いに合同であることより，３次元正多面体の基本単体の個数は
ｇ＝２ｐｆ＝２ｑｖ＝４ｅ
すなわち，正多面体の辺の個数ｅの４倍と等しくなります．
また，（ｎ＋１）次元空間内の正多胞体はｎ次元球面上に射影することによって球面充填形になるのですが，そのような方法によって，３次元正多面体の基本単体の個数を（ｐ，ｑ）を用いて表すと
ｇ＝４π／π（１／ｐ＋１／ｑ−１／２）＝８ｐｑ／｛４−（ｐ−２）（ｑ−２）｝
さらに，
ｇ／ｈ＝（ｈ＋２）＝２４／（１０−ｐ−ｑ）
なる関係を掲げますが，ここでｈはペトリー数と呼ばれるもので，反転が何回でもとに戻るかという群論（鏡像変換）に関係した基本量です．４次元正多胞体の場合は
ｇ／ｈ＝６４／（１２−ｐ−２ｑ−ｒ＋４／ｐ＋ｑ／４）
で表されます．
ところで，正ｎ角形にはｎ本の対称軸があります．そこで，正多面体の対称面の個数は？ ｎ次元の正多胞体に対称超平面は合計何枚あるのか？ という問題が派生します．答を先にいうと，この解はｎを次元数，ｈをペトリー数として
ｍ＝ｎｈ／２
枚で与えられます．
正多角形の対称軸の数ｍ＝２ｎ／２において，分子の２は平面の次元数と解釈できます．また，３次元正多面体の対称面はｍ＝３ｈ／２個ですが，３は次元数です．
次元 対称面数ｍ ペトリー数ｈ 基本単体数ｇ
２ 正ｐ角形 ｐ ｐ ２ｐ
３ （３，３） ６ ４ ２４
３ （４，３） ９ ６ ４８
３ （３，４） ９ ６ ４８
３ （５，３） １５ １０ １２０
３ （３，５） １５ １０ １２０
４ （３，３，３） １０ ５ １２０
４ （３，３，４） １６ ８ ３８４
４ （４，３，３） １６ ８ ３８４
４ （３，４，３） ２４ １２ １１５２
４ （３，３，５） ６０ ３０ １４４００
４ （５，３，３） ６０ ３０ １４４００
ｎ 正単体 ｎ（ｎ＋１）／２ ｎ＋１
ｎ 双対立方体 ｎ^2 ２ｎ
ｎ 超立方体 ｎ^2 ２ｎ
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基本単体は万華鏡のように隣同士が互いに鏡像形で，半分ずつが互いに合同です．そして，｛ｏ0ｏ1・・・ｏn-2｝上ｏn-1，ｏnのなす角
∠ｏn-1ｏn-2ｏn＝π／ｐn-1
は超平面同士が超辺上でなす二面角δの半分です（注：二胞角というべきですが３次元の場合の用語を転用します）．
二面角が重要なのはｎ＋１次元正多胞体（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn）が存在するための必要条件が
δｐn＜２π
で表されるからです．これは３次元正多面体の場合，１点のまわりの角錐の角の和が４直角未満という条件の一般化にあたります．
超立方体の二面角はつねに９０°ですが，正単体の２面角は，頂点（ｘ，ｘ，・・・，ｘ），底面の中心ｏn-1（１／ｎ，・・・・，１／ｎ），１つの超辺の中心ｏn-2（０，１／（ｎ−１），・・・，１／（ｎ−１））の関係から
ｃｏｓδ＝１／ｎ
双対立方体の２面角は，たとえば，頂点（±１，０，・・・，０）と赤道面の１つの超辺の中心ｏn-2（０，１／（ｎ−１），・・・，１／（ｎ−１））より，
ｃｏｓδ＝−（ｎ−２）／ｎ
と計算されます．
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前項と同様の方法によって，４次元の空間における正則胞体の必要条件を定めることができます．（ｐ，ｑ，ｒ）すなわち合同な正多面体（ｐ，ｑ）の各面が２つの（ｐ，ｑ）に属し，各辺がｒ個の（ｐ，ｑ）に属すとしましょう．
３次元正多面体（ｐ，ｑ）を各辺のまわりにｒ個集めてできる４次元正多胞体の必要条件は，２面角のｒ倍が４直角未満ですから，正４面体（３，３）の２面角は７１°より少し小さいので，１本の辺に３，４，５個の正４面体を置くことができます→（３，３，３），（３，３，４），（３，３，５）．
立方体（４，３）の２面角は直角ですから，１本の辺のまわりに４個の立方体で隙間なく空間を充填します．しかし，（４，３，４）では無限の多面体になってしまいますから，超立方体（４，３，３）は有限胞体になります．
正８面体と正１２面体の２面角は，９０°と１２０°の間にあるので，１辺の周囲には３個の正多面体が置けます→（３，４，３），（５，３，３）．正２０面体の２面角は１２０°より大きいので，このようなことはできません．
すなわち，正４面体に対してはｒ＝２，３，４．正６，８，１２面体に対してはｒ＝３．正２０面体では許されないので，結局，正多胞体の可能性としては（３，３，３），（３，３，４），（３，３，５），（４，３，３），（３，４，３），（５，３，３）しかあり得ないことがわかります．
そして，実際にこの６通りの正多胞体が構成できます．なお（４，３，４）は角の和がちょうど４直角となるので，３次元空間充填形です．
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これらを一般的な条件式として表すならば，正多面体（ｐ，ｑ）の２面角は，
２ｓｉｎ^(-1)（ｃｏｓ（π／ｑ）／ｓｉｎ（π／ｐ））
このような角ｒ個の和が２πより小さくなくてはならないことから，
ｃｏｓ（π／ｑ）＜ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｒ）
ｃｏｓ（π／ｑ）＜ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｒ）≦ｓｉｎ（π／ｐ）
すなわち，
ｓｉｎ（π／２−π／ｑ）＜ｓｉｎ（π／ｐ）
より，
１／ｐ＋１／ｑ＞１／２ （ｐ，ｑ≧３）
同様に，
１／ｑ＋１／ｒ＞１／２ （ｑ，ｒ≧３）
が導かれます．
以上の必要条件をまとめると
１／ｐ＋１／ｑ＞１／２ （ｐ，ｑ≧３）
１／ｑ＋１／ｒ＞１／２ （ｑ，ｒ≧３）
となります．
なお，３次元空間充填であるためには，等式
ｃｏｓ（π／ｑ）＝ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｒ）
が成り立たなくてはならないので，３以上の整数解は立方体による空間充填（４，３，４）だけということになります．
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【３】高次元の空間充填形
空間充填形ができるための必要条件は，二面角δが４直角の整数分の１であることです．超立方体の二面角はつねに９０°ですから，これによる空間充填形は何次元でも可能ということになります→超立方体による空間充填形（４，３，・・・，３，３，４）．
正単体の二面角は
ｃｏｓδ＝１／ｎ
ですから，ｎ＝２以外のときは４直角の整数分の１になりません．これは正三角形による平面充填形（３，６）に他なりません．
双対立方体の二面角は
ｃｏｓδ＝−（ｎ−２）／ｎ
より，ｎ＝２のとき９０°→正方形による平面充填形（４，４）．ｎ＝４のとき１２０°→４次元正１６胞体による空間充填形（３，３，４，３）．
また，この双対（３，４，３，３）も空間充填形ですが，その構成要素は（３，４，３）すなわち４次元正２４胞体です．
以上より，１種類の正多胞体による空間充填形をまとめると，平面充填形３種類，３次元空間充填形１種類，４次元空間充填３種類，５次元以上の空間充填形は１種類ということになります．
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【４】４次元正多胞体の胞数
正多面体（ｐ，ｑ）を境界多面体として，その頂点数，辺数，面数を（ｖ1，ｅ1，ｆ1）としましょう．すると，前述したように
１／ｅ1＝１／ｐ＋１／ｑ−１／２
Ｃ個の各胞に２ｅ1／ｐ個ずつの面があり，各面が２個の胞に共通なことより
２Ｃｅ1／ｐ＝２Ｆ
このことの双対として，頂点付近は双対正多面体（ｒ，ｑ）の形になりますから，頂点図形を（ｖ2，ｅ2，ｆ2）とすると，
１／ｅ2＝１／ｒ＋１／ｑ−１／２
各面上にｐ個ずつ辺があり，各辺にｒ個ずつの面が会するので
ｐＦ＝ｒＥ
また，各頂点に２ｅ2／ｒ個ずつの辺が会し，各辺の端点は２個ずつですから，
２Ｃｅ2／ｒ＝２Ｅ
これより，
Ｖ：Ｅ：Ｆ：Ｃ＝１／ｑ＋１／ｒ−１／２：１／ｒ：１／ｐ：１／ｐ＋１／ｑ−１／２
となり，Ｖ，Ｅ，Ｆ，Ｃの相互関係は求まったことになります．
しかし，この比例定数をλとして，オイラー・ポアンカレの公式
Ｖ＋Ｆ＝Ｅ＋Ｃ
に代入しても，それだけでは構成要素（頂点，辺，面，胞，・・・）の個数が定まりません．偶数次元ではオイラー・ポアンカレの公式に定数項がつかないので，両辺とも
λ（１／ｐ＋１／ｑ＋１／ｒ−１／２）
に退化してしまうからです．
３次元の場合とは違って，Ｖ，Ｅ，Ｆ，Ｃを（ｐ，ｑ，ｒ）の関数として簡単に表す公式はなく，これが４次元の壁となっているのですが，この壁を突破する方法として，比例定数λが基本単体の個数ｇの１／４に等しいこと，したがって，基本単体の個数ｇを計算するとＶ，Ｅ，Ｆ，Ｃが求められることが参考図書：
一松信「高次元の正多面体」日本評論社
に載っています．
しかし，それよりも（３，３，３）（３，３，４）（４，３，３）がそれぞれ４次元の正単体，双対立方体，超立方体であること，その胞数が５，１６，８であることより比例定数λを求める方が簡単と思われます．以下では，この方法について説明します．
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ｆkをｎ次元多面体のｋ次元面の数とし，
（ｆ0，ｆ1，・・・，ｆn-2，ｆn-1）
を構成要素とするｎ次元正多胞体では，組み合わせ的方法によって，ｋ次元胞数ｆkが求められます．たとえば，正単体では
ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）
なのですが，ｋ＝ｎ−１のときｆk＝ｎ＋１であって，胞数はｎ＋１と計算されます．同様に，双対立方体では
ｆk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１），ｋ＝ｎ−１のとき，ｆk＝２^n
立方体では
ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ），ｋ＝ｎ−１のとき，ｆk＝２ｎ
となります．
もちろん，
正単体：ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）
双対立方体：ｆk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１）
立方体：ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ）
はオイラー・ポアンカレの定理：
ｆ0−ｆ1＋ｆ2−・・・＋（−１）^(n-1)ｆn-1＝１−（−１）^n
すなわち，ｎが奇数なら２，偶数なら０を満たします．この定理は正多胞体に限らず，ｎ次元凸多胞体について常に成立します．
どの次元にも３種類の標準正多胞体（正単体，超立方体，双対立方体）があり，４次元正多胞体（ｐ，ｑ，ｒ）＝（３，３，３）（３，３，４）（４，３，３）がそれぞれ４次元の正単体，双対立方体，超立方体であることは見当がつくわけですから，その胞数は５，１６，８であることを利用して，残り３つの４次元正多胞体の胞数を求める方が簡単です．厳密な証明とはいえませんが，胞数を求めるだけであれば，このような「不完全な証明」も可能です．
そうすることによって，以下の結果が得られます（境界面ｐ，頂点に集まる面ｑ，辺に集まる胞ｒ）．
境界多面体 ｐ ｑ ｒ λ
５胞体 正４面体 ３ ３ ３ ３０
８胞体 立方体 ４ ３ ３ ９６
１６胞体 正４面体 ３ ３ ４ ９６
２４胞体 正８面体 ３ ４ ３ ２８８
１２０胞体 正１２面体 ５ ３ ３ ３６００
６００胞体 正４面体 ３ ３ ５ ３６００
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５次元正多房体（ｐ，ｑ，ｒ，ｓ）の場合も，これまでと同様に４次元正多胞体（ｐ，ｑ，ｒ）をｓ個ずつくっつけますから，４次元正多胞体の二面角のｓ倍が４直角未満であることが必要です．
その可能性は（３，３，３，３）（３，３，３，４）（４，３，３，３）の３通り，すなわち，５次元の正多房体は標準正多胞体に限られます．これらが５次元の正６房体，正１０房体，正２５房体になるというわけです．なお，（４，３，３，４）（３，３，４，３）（３，４，３，３）は等号が成立するので，４次元の空間充填形になることが理解されます．
また，ｎ次元空間において，標準正多胞体以外に正多胞体がなく，二面角がそれぞれ７２°，１２０°より大きければｎ＋１次元においても標準正多胞体以外にはあり得ません．二面角はｎとともに増加するので，ｎ次元以上の空間では３種類の標準正多胞体しかありえないことになります．このような状況はｎ＝５で生ずるので，６次元以上の空間でも３種類の標準正多胞体に限られることになります．
高次元の正多胞体といっても，５次元以上では３種類の標準正凸多胞体しかなく，５次元正多房体の房数は正６房体，正１０房体，正２５房体になることも同様にして「不完全な証明」が可能というわけです．なお，５次元以上では凹正多胞体も存在しないわけですから，その意味では平凡な次元といってよいのですが，それに対して４次元は本質的に多彩です．
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【５】４次元の空間充填形
（４，３，３，４）（３，３，４，３）（３，４，３，３）はそれぞれ正８胞体，正１６胞体，正２４胞体による４次元の空間充填形です．
このうち，（４，３，３，４）は正８胞体（４次元超立方体）による空間充填形で，格子点を順次結んでできる４次元単純立方格子をなしますから，ハミルトンの四元数
Ｈ＝ａ＋ｂｉ＋ｃｊ＋ｄｋ
において，ａ，ｂ，ｃ，ｄを整数に限った「四元整数」と同一視することができます．
四元整数は乗法の交換法則が成り立たない非可換体（環）ですが，４次元空間内の原点を中心とする半径√ｎの３次元球面上には必ず格子点があることを主張しているのが「ラグランジュの定理」であることは前回のコラムでも説明したとおりです．
ところで，３次元では立方体の８個の頂点を１つおきにとると正４面体ができますが，正８胞体（４次元超立方体）の１６個の頂点を１つおきに結ぶと，正１６胞体ができます（注：５次元以上の空間では正多胞体にはなりません）．
また，３次元では立方格子の１つおきの格子点のみをとった格子は面心立方格子と等しくなることが知られていますが，４次元で同じことを行ったものが４次元の体心立方格子であり，これは（３，３，４，３）と同値です．すなわち（３，３，４，３）は正１６胞体による４次元空間充填形であり，４次元の体心立方格子ということになります．
この充填形は「四元整数」に１の原始６乗根
ζ++++＝（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２
を追加した数の体系「フルビッツの整数」を使うと，空間充填形（３，３，４，３）のすべての頂点を与えてくれます．フルビッツの整数全体は整数座標点と半整数座標点からなりますので，４次元体心立方格子であるというわけですが，この４次元体心立方格子の代表的な房は
０，１，ｉ，１＋ｉ，ζ++++，ζ++--，ζ+++-，ζ++-+
の８点からなるものとして作ることができます．なお，ζ＝ζ++++とおくと，
ζ^2＝ζ-+++，ζ^3＝−１，ζ^4＝ζ----，ζ^5＝ζ+---，ζ^6＝１
となります．
３次元では，立方体の８個の頂点を１つおきにとると正４面体ができますから，４次元体心立方格子は，二面角が補角となる正８面体（ｃｏｓδ＝−１／３）と正４面体（ｃｏｓδ＝１／３）からなる３次元充填形（面心立方格子）と対応していることになります．
一方，（３，４，３，３）は４次元独特の充填形です．その構成要素（３，４，３）が正２４胞体で，単数すなわち１の約数，
±１，±ｉ，±ｊ，±ｋ，ζ±±±±
のあらゆる符号の組合せをとった２４個が正２４胞体をなしています．
また，正２４胞体の頂点は正８胞体と正１６胞体の頂点をなしますから，正２４胞体は３次元の菱形１２面体に対応するものであって，（３，４，３，３）は４次元版の菱形１２面体による空間充填形に相当します．すなわち，それは４次元の面心立方格子といってよいものであって，４次元の最密正則胞体充填構造Ｄ4は正２４胞体で埋めつくされているときであることが知られています→コラム（その３）．
（４，３，３，４）→４次元単純立方格子
（３，３，４，３）→４次元体心立方格子
（３，４，３，３）→４次元面心立方格子
［補］ガウスの整数
ａ，ｂを整数として
ａ＋ｂｉ
で表される複素数が「ガウスの整数」です．すべてのガウス整数を約す整数が「単数」で，
±１，±ｉ
の４個の単数があります．
素数は複素数体でも定義されますが，数論の教えるところによると，複素数体においても，単数を除いて，素因数分解の一意性が成立します．４ｋ＋３型素数はやはりガウス素数ですが，２および４ｋ＋１型素数はガウス素数の積に分解されるのです．
２＝（１＋ｉ）（１−ｉ）
２９＝（５＋２ｉ）（５−２ｉ）
［補］アイゼンスタインの整数
アイゼンスタインの整数は
ａ＋ｂω
と書くことができます．ここで，ωは１の虚立方根で，ｘ^2＋ｘ＋１＝０の根です．それに対して，ガウス整数にはｘ^2＋１＝０が対応しています．
アイゼンスタインの整数には，６つの単数
±１，±ω，±ω^2
があり，正六角形の対称性をもちます．
ここにもやはり素因数分解の一意性が成立します．２および６ｋ＋５型素数はアイゼンスタイン素数ですが，３および６ｋ＋１型素数はアイゼンスタイン素数の積に分解されます．
３＝（１−ω）（１−ω^2）
３７＝（４−３ω）（４−３ω^2）
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【６】高次元の正多胞体とルート系
（問）１つの３角形を辺に関して次々折り返していって，３角形が互いに重なることなく，平面を埋めつくすことができるか？
（答）この問題は平面を鏡映三角形で埋めるというものですが，１つの頂点に会する三角形は偶数に限る必要はありません．
頂点の角度をαとおくと，頂点を一回りしたので，
α＝２π／ｐ ただし，ｐは３以上の自然数．
まったく，同様に残り２つの内角に対しても
β＝２π／ｑ，γ＝２π／ｒ
また，α＋β＋γ＝πより
１／ｐ＋１／ｑ＋１／ｒ＝１／２
が成り立ちます．
ここで，３≦ｐ≦ｑ≦ｒと仮定すると
１／２＝１／ｐ＋１／ｑ＋１／ｒ≦３／ｐ
より，３≦ｐ≦６
さらに，ｐが奇数のとき，頂点Ａからでる２辺の長さは等しくならなければなりません．そうしないと，折り返しでうまく重ならないからです．したがって，
(i)ｐ＝３のとき，ｑ＝ｒなので，
ｑ（ｑ−１２）＝０
これより，（ｐ，ｑ，ｒ）＝（３，１２，１２）
(ii)ｐ＝４のとき，（ｑ−４）（ｒ−４）＝１６
これより，（ｐ，ｑ，ｒ）＝（４，５，２０），（４，６，１２），（４，８，８）ですが，（ｐ，ｑ，ｒ）＝（４，５，２０）は必要条件を満たすものの，十分条件を満たさない，すなわち，１点のまわりだけは完全に埋められても平面のタイル張りになりません．凸な多角形では七角以上になるとどんな型のものも平面充填はうまくいかないのです．
(iii)ｐ＝５のとき，ｑ＝ｒより，
ｑ（３ｑ−２０）＝０
これを満たす３以上の整数はありません．
(iv)ｐ＝６のとき，（ｑ−３）（ｒ−３）＝９
これより，（ｐ，ｑ，ｒ）＝（６，６，６）
結局，求めるタイル張りは
（６，６，６） → 正三角形
（４，８，８） → 直角二等辺三角形
（４，６，１２） → ３０°，６０°，９０°の三角形
（３，１２，１２）→ ３０°，３０°，１２０°の三角形
の４通りあることになり，実際に十分条件を満たします．
３０°，３０°，１２０°の角をもつ三角形は，正三角形格子（３，６）の各面を３個の合同な三角形に分解することによってできるモザイク模様です．「麻の葉」文様と呼ばれるくり返し文様なのですが，日本では古くから装飾工芸品や寄木細工のデザインなどとして用いられていますから，ご存じの方も多いと思います．
３０°，６０°，９０°のモザイクは，３０°，３０°，１２０°の三角形からなるモザイクをさらに２個の直角三角形に分解してできる模様，直角二等辺三角形モザイクは正方格子（４，４）を４分割したもの，正三角形は正三角形格子（３，６）そのものです．
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（その３）にも記しましたが，基本単体を鏡映も許しながら自分自身に重ねていく操作がルート系であり，それは，アメリカのキリングやフランスのカルタンによって成し遂げられた単純リー群の分類と関係しています．
ｎ次元空間において高度の対称性をもったベクトルの集合がルート系なのですが，ｎ次元正単体とｎ次元立方体の対称群は，それぞれＡn-1，Ｂn（Ｃn）で表されます．
ルート系では，ベクトルの間の角度は３０°，４５°，６０°，９０°またはその補角に限られるので，２次元の可能なルート系は
Ａ2（正六角形：正三角形格子）
Ｂ2＝Ｃ2（正方形）
Ｇ2（星形六角形：正６角形を２個合わせたもの）
しかありません．
また，このようにルート系のベクトルの末端を結んでできるｎ次元図形が正多胞体になるのは比較的少数です．他には
Ｄ4（正２４胞体の３対性）
Ｃn（双対立方体）
Ｆ4（正２４胞体を２個合わせたもの）
があげられます．
正２４胞体は，すべての次元を通じて，単体以外の唯一の自己双対な正則胞体です．この２４胞体の対称性を，鏡映で生成される既約な有限群（ルート系）との関係でみても興味深いものがあります．たとえば，正２４胞体に含まれる正１６胞体は互いに６０°をなしますから，Ｄ4の３対性をもっているというわけです．
また，正２４胞体は１つの例外型対称群Ｆ4をもつことが知られています．２個の正２４胞体を中心を一致させて重ねて回転させます．これはちょうど平面上でダビデの星が２つの正六角形を３０°ずらして重ねたものと似ているわけですが，この対称性がＦ4に相当します．正２４胞体は単体以外の唯一の自己双対な正則胞体であるという事実がＦ4と関係しているのですが，この点もまた注目すべきものでしょう．
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［補］単純リー群を分類するという問題はある意味では興味深い幾何学の可能性を決定することになります．
既約ルート系の分類の基づいて，複素単純リー代数の分類を行ったものがカルタンの分類定理であり，それは『いかなる複素単純リー代数もＡk（ｋ≧１），Ｂk（ｋ≧２），Ｃk（ｋ≧３），Ｄk（ｋ≧４），Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2の型のものに限られる．』というもので，Ａk，Ｂk，Ｃk，Ｄk型の複素単純リー代数は古典型，Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2の型のものは例外型と呼ばれます．すなわち，単純リー群には９つの型があり，それらはＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄと名づけられた４つの無限系列とＥ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2と名づけられた５つの例外群であったのです．
キリングやカルタンの研究は面白い幾何学がどれだけできるかという設問に対する解答でもあり，大ざっぱにいえば，Ａ型が複素ユニタリ幾何，Ｂ型とＤ型がそれぞれ奇数次元と偶数次元の実ユークリッド幾何，Ｃ型が４元数上の幾何学，５つの例外型は８元数上の幾何学に対応しています．→コラム「群と月光」「エルランゲン・プログラムと変換群」参照
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【７】高次元の星形正多胞体
空間充填系と星形正多胞体は拡張された正多胞体と考えることができます．したがって，空間充填形の次には星形正多胞体の話をするのが筋でしょう．
星形正多角形（ｎ／ｄ角形）は，正ｎ角形の頂点をｄ個おきにとってできる図形です．ソロモンの星は５／２角形，ダビデの星は６／２角形となるのですが，ｎとｄが互いに素でないとき，ｎ／ｄ個のｄ角形に分かれます．たとえば，正６角形からはダビデの星が得られますが，ダビデの星は２個の正三角形に分かれるので，雪型正多角形とも呼ばれます．ダビデの星がユダヤ人の象徴とされ，イスラエルの国旗にも使われているのに対し，ソロモンの星はピタゴラス派のシンボルマークで黄金比と関係しています．
３次元星形正多胞体が４通りしかないことは，１８１１年，コーシーによって証明されています．星形正多面体ではｐ，ｑは整数とは限らず，有理数になるのですが，辺数はすべて３０本，基本単体数１２０個です．また，複合正多面体（雪形正多面体）５通りであることが知られています．
４次元星形正多胞体が１０通りであることは，１９１５年，ファン・オスが不完全ながら証明し，１９３１年，コクセターにより完全な証明が与えられました．その基本単体数１４４００個です．４次元雪形正多胞体は４６通りあります（コクセター，１９３３年）．１種類の星形多角形による平面充填は不可能なのですが，４次元星形正多胞体による４次元空間充填も同様の結果（不可能）です．
なお，５次元以上の星形正多胞体も不可能ですから，星形正多胞体は４次元で多彩となり，そこで突然終わりになる・・・５次元以上では３種類の標準正多胞体がすべてということになります．
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【８】双曲空間の空間充填系
三角形Ｐ（黒塗り）とそれを裏返した三角形Ｑ（白塗り）の２つを交互に並べて，平面全体をタイル張りすることを考えます．たいていの場合は途中でタイル同士が重なってしまいますが，うまくいくと市松模様のタイル張りができあがります．
（問）Ｐがどのような形のとき，このようなタイル張り（平面の市松模様三角形タイル張り）が可能であろうか？
（答）これが可能なためには，１つの頂点で偶数個の３角形が交わらなければならないので，これを２ａとおく．また，その頂点の角度をαとおくと，頂点を一回りしたので，２ａα＝２π．ゆえに，
α＝π／ａ ただし，ａは２以上の自然数．
まったく，同様に残り２つの内角に対しても
β＝π／ｂ，γ＝π／ｃ
また，α＋β＋γ＝πより
１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ＝１
この等式を満たす（ａ，ｂ，ｃ）の組は非常に少ない．便宜上，ａ≧ｂ≧ｃとすると
（３，３，３） → 正三角形
（４，４，２） → 直角二等辺三角形
（６，３，２） → ３０°，６０°，９０°の三角形
の３種類が得られる．
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以上の解は平面を鏡映三角形で埋めることをユークリッド面（放物的）で考えたものですが，リーマン面（楕円的），ロバチェフスキー面（双曲的）を問題にするならば，解は非常に異なるものになります．
α＋β＋γ＞π，＝π，＜π
すなわち
１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ＞１，＝１，＜１
に応じて楕円幾何学，ユークリッド幾何学，双曲幾何学の三角形が得られます．
１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ＞１を満たす正の整数の組（ａ，ｂ，ｃ）は高々有限個で，（ｎ，２，２）は正２面体群，（３，３，２）は正４面体群，（４，３，２）が正８（６）面体群，（５，３，２）は正２０（１２）面体群に対応しています．
一方，１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ＜１の場合は（ｎ≧７，３，２），（ｎ≧５，４，２），（ｎ≧４，３，３），（ｎ≧３，４，３）など無限個あり，双曲幾何学における市松模様三角形タイル張りの可能性は無限にあることになります．
すなわち，楕円的平面では基本領域は有限個しかなく，有限個の基本領域をならべることによって全平面を埋めつくすことができます．一方，双曲的平面の場合には，無限に多くの種類の基本領域があり，全平面を隙間なく埋めるには無限個必要となります．ユークリッド平面はその中間で，基本領域は有限種類しかないが，全平面を埋めつくすには無限個必要であるというわけです．
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このことから，２次元双曲平面では正ｐ角形が頂点のまわりにｑ個ずつ集まる
１／ｐ＋１／ｑ＜１／２
を満たす無限個の基本領域があることがわかったわけですが，３〜５次元双曲空間では有限個（３次元：２２個，４次元：１３個，５次元：５個）しかなく，６次元以上ではこのような基本領域が存在しないことが証明されています（コクセター，１９５４年）．
次に，双曲空間の星形充填形を考えると，３次元の星形正多胞体は４種類ありますが，それらは３次元双曲空間の星形充填形にはなりません．４次元双曲空間には４通りの星形充填形があり，５次元以上にはそもそも星形正多胞体がないので５次元以上の双曲空間には星形充填形はあり得ないことになります．
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