■階乗や２項係数を含む級数の量子化
２項定理は数学の基本的な定理の中でも最も重要な定理である．ここでは，nＣkのことを(n,k)を書くことにするが，階乗や２項係数などを含んだ有限和では，たとえば
Σ(n,k)=2^n
次数ｎの２項係数の和は2^nであるという有名な（古い？，由緒ある？）恒等式がある．これは，パスカルの三角形
Σ(n,k)p^k･q^(n-k)=(p+q)^n
において，ｐ＝１，ｑ＝１とおくことにより簡単に導かれる．
２項係数の２乗の和も非常に簡単である．
Σ(n,k)^2=(2n,n)
（証明）文字１，２，・・・，ｎからｋ個の文字の選び方は(n,k)通り．
文字ｎ＋１，ｎ＋２，・・・，２ｎからｎ−ｋ個の文字の選び方は(n,n-k)通り．
したがって，そのような対の選び方は(n,k)(n,n-k)=(n,k)^2通り．
一方，２ｎ個の文字１，２，・・・，２ｎからｎ個の文字の選び方は(2n,n)通り．各ｋに対する上の対の選び方は１対１に対応しているから，その和Σ(n,k)^2は(2n,n)に等しい．
では，３乗の和はどうなるのであろうか？
Σ(n,k)^3=？
実はこれには単純な公式のないことが証明されている．（f(n)=Σ(n,k)^3の満たす漸化式は
8(n+1)^2f(n)+(7n^2+21n+16)f(n+1)-(n+2)^2f(n+2)=0
であるが，閉形式の解はもたない．）
比較的有名な有限級数をあげておくと，
Σ(-1)^k(n,k)=0
Σk(n,k)=n2^(n-1)
Σ(2n-2k,n-k)(2k,k)=4^n
Σ(-1)^k(2n,k)^3=(-1)^n(3n)!/(n!)^3
Σ(-1)^k(a+b,a+k)(a+c,c+k)(b+c,b+k)=(a+b+c)!/a!b!c!
Σ(-1)^k(2n,k)(2k,k)(4n-2k,2n-k)=(2n,n)^2
Σ(i+j,i)(j+k,j)(k+i,k)=Σ(2j,j) i+j+k=n
Σ(-1)^(n+r+s)(n,r)(n,s)(n+r,r)(n+s,s)(2n-r-s,n)=Σ(n,k)^4
Σ(-1)^k(2n,k)^3=(-1)^n(3n)!/(n!)^3
Σ(-1)^k(a+b,a+k)(a+c,c+k)(b+c,b+k)=(a+b+c)!/a!b!c!
は前回のコラム「定数項予想入門」にもでてきたディクソンの有名な和公式であるが，とくに後者の恒等式は美しく覚えやすい形である（ディクソンの恒等式）．
また，
Σ(n,k)(n+k,k)^2
Σ(n,k)^2(n+k,k)^2
はそれぞれアペリがζ（2），ζ（3）の無理数性の証明に用いた数列であるし，
Σ(n,k)(n+k,k)
はｌｏｇ２の数列を構成する．→コラム「ゼータとポリログ関数」参照
有名ではないが，次のようにゼータ関数に帰着する無限級数も知られている．
Σ1/(2n,n)={2π√3+9}/27
Σ1/n(2n,n)=π√3/9
3Σ1/n^2(2n,n)=ζ（2）
12Σ(2-√3)^n/n^2(2n,n)=ζ（2）
5/2Σ(-1)^(n-1)/n^3(2n,n)=ζ（3）
36/17Σ1/n^4(2n,n)=ζ（4）
このことからζ（2），ζ（3），ζ（4），・・・がΣ1/n^k(2n,n)あるいはΣ(-1)^(n-1)/n^k(2n,n)の簡単な有理数倍になっている
ζ（5）＝R*Σ(-1)^(n-1)/n^5(2n,n)
と予想するのは当然の成りゆきであろう．ところが，予想に反して，Ｒはたとえ有理数であったにしても，簡単なものにはならないらしい．
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【１】２項定理のｑアナログ
熱放射に関するプランク分布は，数学的にみるとゼータ関数・ガンマ関数と関連していて，量子化の概念では
１＋ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3＋・・・＝１／（１−ｘ）
1+e^(-x)+e^(-2x)+･･･=1/(1-e^(-x))
など無限等比級数がしばしば登場する．このことについてはコラム「プランク分布と量子化の概念」を参照されたい．
ところで，ｑ→１とすることによって，
１，１＋ｑ，１＋ｑ＋ｑ^2，・・・，１＋ｑ＋ｑ^2＋・・・＋ｑ^(n-1)，・・・
は１，２，３，・・・，ｎ，・・・に近づく．このことから逆に
１，１＋ｑ，１＋ｑ＋ｑ^2，・・・，１＋ｑ＋ｑ^2＋・・・＋ｑ^(n-1)，・・・
＝（１−ｑ）／（１−ｑ），（１−ｑ^2）／（１−ｑ），（１−ｑ^3）／（１−ｑ），・・・，（１−ｑ^n）／（１−ｑ），・・・
は自然数のｑアナログを与えていると考えることができる．
ｑアナログは量子化の概念に非常によく似た形で与えられるといったほうがわかりやすいかもしれない．したがって，階乗ｎ！のｑアナログは
Π(1-q^k)/(1-q)
となるが，２項係数(n,m)=n!/m!(n-m)!のｑアナログ（ｑ-２項係数）を
[n,m]
と書くことにして，さらに
(a;q)n=(1-a)(1-aq)･･･(1-aq^(n-1))=Π(1-aq^k)
なる記号を導入すると
(q;q)n=(1-q)(1-q^2)･･･(1-q^n)=Π(1-q^k)
になるので，
[n,m]=(q;q)n/(q;q)m(q;q)n-m
このようにして，２項定理
(1+z)^n=Σ(n,m)z^m
のｑアナログは
(1+z)(1+zq)･･･(1+zq^(n-1))=(-z;q)n= Σ[n,m]q^(m(m-1)/2)･z^m
と表すことができる．
また，これよりｑ-２項級数は
(az;q)∞/(z;q)∞=Σ(a;q)m/(q;q)m･z^m
ガンマ関数（階乗の一般化），ガウスの超幾何関数（２項級数の一般化）のｑアナログも同様に与えることができて，
ｑ-ガンマ関数：Γq(x)=(q;q)∞/(q^x;q)∞(1-q)^(1-x)
ｑ-超幾何関数：2φ1(a,b,c:q,x)=Σ(a;q)m(b;q)n/(c;q)m(q;q)m･x^m
と定義される．
ｑ-超幾何関数はハイネの超幾何関数2φ1とも呼称される．ガウスの超幾何関数2Ｆ1は超幾何微分方程式
x(1-x)d^2y/dx^2+{γ-(α+β+1)x}dy/dx-αβy=0
を満たすが，ｑ-超幾何関数2φ1は類似の２階差分方程式をみたす．
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【２】ヤコビの３重積公式
(a;q)∞=(1-a)(1-aq)･･･(1-aq^(n-1))･･･=Π(1-aq^k)
を導入したついでに，ヤコビの３重積公式
(x;q)∞(q/x;q)∞(q;q)∞=Σ(-1)^m･q^(m(m-1)/2)･x^m
を示しておきたい．
ヤコビの３重積公式において，ｘ＝ｑとすれば，ヤコビの３角数定理
(q;q)∞(1;q)∞(q;q)∞=Σ(-1)^m･q^(m(m+1)/2)･x^m
となる．
また，ｑをすべてｑ^3に置き換え，ｘ＝ｑとすれば，左辺は(q;q)∞となり，オイラーの５角数定理は
(q;q)∞=Σ(-1)^m･q^(m(3m+1)/2)･x^m
と表される．
五角数定理はオイラーが分割関数p(n)の研究中に発見した関数等式である（１７５０年）．オイラーの五角数定理はヤコビの三重積公式を使うとあっさり証明できるのであるが，五角数定理の完全な証明は，ヤコビのテータ関数や保型形式の理論の中に求められなければならない．
しかし，ヤコビを待つまでもなく，オイラーは五角数定理を証明したのだが，オイラーはこの定理の予想から証明までにかれこれ１０年を要した（発見は１７４１年，証明は１７５０年）．その間，たとえ完全な証明は与えられなくとも正しいことは間違いないことを確信していて，結果の正しさについて，微塵の疑いも抱いていなかったようである．
現在，五角数定理にはヤコビの三重積公式による証明やフランクリンによる組合せ的証明がある．オイラー自身による証明はヴェイユの「数論」に紹介されているのだが，梅田亨先生の解説によると，今日的な眼からすれば，オイラーの証明には無限次行列に対する跡公式と呼ばれるアイディアが使われているという．
跡公式とは，行列Ａにおいて対角和＝固有値の和，すなわち
ｔｒＡ＝Σλ
の左辺が解析的，右辺が幾何学的に得られたものであるように，ある作用素の跡を２通りの方法で計算することにより得られる等式であって，作用素とはいわば無限次行列のことと考えておくとよいと思われる．
２通りに計算するということを喩えていうならば，家計簿つけでまず行ごとの合計を求めそれを総計する，次に列ごとの合計を求めそれを総計する，そして計算が正しければその２つの計算結果は一致するはずというわけである．
ヤコビの３重積公式はテータ関数そのものを表しているのであって，これから
Σ(-1)^n･q^(n^2)=(q;q)∞/(-q;q)∞
Σq^(n(n+1)/2)=(q^2;q^2)∞/(q;q^2)∞
Σq^(k^2)/(q;q)k=1/(q;q^5)∞(q^4;q^5)∞
Σq^(k(k+1))/(q;q)k=1/(q^2;q^5)∞(q^3;q^5)∞
Σq^(k^2)/(q;q)2k=1/(q;q^2)∞(q^4;q^20)∞(q^16;q^20)∞
Σq^(k(k+2))/(q;q)2k+1=1/(q;q^2)∞(q^8;q^20)∞(q^12;q^20)∞
Σq^(k^2)/(q;q)k(q;q)n-k=Σ(-1)^k･q^{(5k^2-k)/2}/(q;q)n-k(q;q)n+k
Σ2q^(k^2)/(q;q)k(q;q)n-k=Σ(-1)^k･(1+q^k)q^{(5k^2-k)/2}/(q;q)n-k(q;q)n+k
などの恒等式が得られる．
このうち，後６者のｑ恒等式
Σq^(k^2)/(q;q)k=1/(q;q^5)∞(q^4;q^5)∞
Σq^(k(k+1))/(q;q)k=1/(q^2;q^5)∞(q^3;q^5)∞
Σq^(k^2)/(q;q)2k=1/(q;q^2)∞(q^4;q^20)∞(q^16;q^20)∞
Σq^(k(k+2))/(q;q)2k+1=1/(q;q^2)∞(q^8;q^20)∞(q^12;q^20)∞
Σq^(k^2)/(q;q)k(q;q)n-k=Σ(-1)^k･q^{(5k^2-k)/2}/(q;q)n-k(q;q)n+k
Σ2q^(k^2)/(q;q)k(q;q)n-k=Σ(-1)^k･(1+q^k)q^{(5k^2-k)/2}/(q;q)n-k(q;q)n+k
はロジャース・ラマヌジャン恒等式と呼ばれるものの例である．
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［参］三町勝久「ダイソンからマクドナルドまで」群論の進化・第４章，朝倉書店
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［補］ガンマ関数
Γ(x)=∫(0,∞)t^(x-1)e^(-t)dt x>0
無限積分Γ(x)をｘの関数とみてガンマ関数といいます．
Γ(1)=∫(0,∞)e^(-t)dt=1
Γ(1/2)＝∫(0,∞)t^(-1/2)e^(-t)dt
ここで，t=u^2とおくと∫(0,∞)e^(-u^2/2)du=√π/2（ガウス積分）より
Γ(1/2)＝√π
が得られます．
オイラーの第２積分とも呼ばれるガンマ関数Γ(x)には，Γ(x+1)=xΓ(x)の関係があり，次のような漸化式が成り立ちます．
Γ(x+1)=xΓ(x)=x(x-1)Γ(x-1)=････
したがって，ｘが正の整数ｎのときにはΓ(n+1)=n!が成り立ち，ガンマ関数は階乗の一般形となっていることがわかります．また，半整数のときには，
Γ(n+1/2)=(2n)!/{2^(2n)n!}√π
です．
なお，ガンマ関数Γ(x)はx>0について微分可能で，x=1.4616321449･･･で最小となります．
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［補］超幾何関数
ガウスは，１８１２年に超幾何級数
Ｆ（α，β，γ：ｘ）＝１＋αβ／γｘ＋1/2!α（α＋１）β（β＋１）／γ（γ＋１）ｘ^2＋1/3!α（α＋１）（α＋２）β（β＋１）（β＋２）／γ（γ＋１）（γ＋２）ｘ^3＋・・・
について非常に詳細な研究を行っていたことで知られています．この形の超幾何関数はガウスの超幾何関数と呼ばれ，
2Ｆ1(α，β；γ：ｘ）
で表されます．
この級数が重要なのは，多くの既知の関数がこの級数で表されるという事実で，たとえば，
ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ2Ｆ1（１，１；２：−ｘ）
（１＋ｘ）^n＝2Ｆ1（-n，β；β：ｘ）
があげられます．
また，
Ｆ（α；γ：ｘ）＝１＋α／γｘ＋1/2!α（α＋１）／γ（γ＋１）ｘ^2＋1/3!α（α＋１）（α＋２）／γ（γ＋１）（γ＋２）ｘ^3＋・・・
の場合を合流形超幾何関数（またはクンマーの超幾何関数）と呼び，
1Ｆ1(α；γ：ｘ）で表されます．
一般に，Ｆ（ｘ）＝Σａnｘ^nとおくと，ａ0=1で連続する２項の係数比
ａn+1／ａn
が定数となる関数を超幾何関数と呼びます．
超幾何関数はもっと一般化することが可能でp個の上部パラメータとq個の下部パラメータを有する超幾何関数は
pＦq(a1,a2,･･･,ap;b1,b2,･･･,bq;x)と表されます．
ａn+1ｘ^(n+1)/ａnｘ^n=(n+a1)(n+a2)･･･(n+ap)/(n+b1)(n+b2)･･･(n+bq)x/(n+1)
すなわち，超幾何関数は，項比が有理関数
ａn+1ｘ^(n+1)/ａnｘ^n=p(n)/q(n)･x/(n+1)
であるような級数にほかなりません
なお，指数関数，対数関数，三角関数，２項関数，ベッセル関数，直交多項式列，不完全ガンマ関数，指数積分，ガウスの誤差関数なども超幾何級数であって，超幾何関数は一般に収束半径１をもちます．
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