因数分解の算法（その７）

を発見しています．この公式はｎ＝０のとき素数４１，ｎ＝１で素数４３，ｎ＝２で素数４７を与えます．このようにしてｎが０から３９までのどのｎをとってもオイラーの公式はすべて素数を与えます．

　オイラーの公式はｎ＝４０で１６８１＝４１^2となって破綻しますが，１０００万以下のｎに対して４７．５％の確率で素数を生成します．

がすべて素数になることを観察しています．（ｆq（ｑ－１）＝ｑ^2は素数ではありません．）

　これらの事実を確認するのは簡単ですが，しかしオイラーはどうやってこんな事実を見つけだしたのでしょうか．また，そうなる真の理由は何なのでしょうか．

は，（その４）で述べた虚２次体の理論と深く関係しているのですが，今回のコラムではもう少し掘り下げて再録してみたいと思います．

　ｆq（ｘ）が０≦ｘ≦ｑ－２なるすべてのｘについて素数となることと虚２次体Ｑ（√ｄ）との関係が，ラビノヴィッチにより示されています（１９１２年）．

　［２］がオイラーの公式に対応しているわけですが，連続する０≦ｘ≦ｑ－２に対してすべて素数になるには

　類数１については後述しますが，［２］でｄ＝－１６３＝１（ｍｏｄ４）の場合を考えると，ｑ＝４１．したがって，

となります．このようにして，上の現象は虚２次体Ｑ（√－１６３）と関係していることがわかります．

も高い確率で素数を生成しますが，ｄ＝－６７＝１（ｍｏｄ４）の場合を考えると，ｑ＝１７ですから，虚２次体Ｑ（√－６７）と関係しているというわけです．

　オイラーの２次多項式において，最初のｑ－１個がすべて素数となるような素数ｑ（＞４１）は存在するのでしょうか．もし存在するならば，そのようなｑは無限にあるのでしょうか．あるいは，有限個ならば最大のｑはいくつになるのでしょうか．

　１９６６年，ベイカーとシュタルクは独立に類数１の虚２次体Ｑ（√ｄ）すなわち（ｄ＜０，ｄは平方因子をもたない）なる２次体をすべて決定したのですが，それによると，

　もし，そのような素数が無限に多く存在すれば，任意の長さの素数列を生成することができるのですが，ベイカー・シュタルクの定理はこれが成立しないことを示していて，

　以下，理解に必要な基本的事項を整理しておきます．虚２次体の類数の話にはいる前に，２次体についておさえておきましょう．

　説明するまでもないかもしれませんが，整数の比で表せない数を無理数（例：√２）と呼びます．いい換えれば，整数係数の１次式の根にはならない数が無理数なのです．無理数の中でも，整数係数多項式の根となる数が代数的数（例：3√５はｘ^3－５＝０の根）であり，それに対して，超越数とは，整数係数のどのような代数方程式の根にもならない数（例：π，ｅ）のことです．代数的数の全体をＱ~と書くことにします．

に対して，ｆ（α）＝０となることです．代数的整数の全体をＺ~と書くことにします．

　また，体Ｋにｆ（ｘ）＝０の根αを添加した体をＫ（α）と書きます．複素数体Ｃは実数体Ｒにｘ^2＋１＝０の根ｉをつけ加えたＲ（ｉ）であり，Ｃの元は

　同様にして，ｘ^2－ｄ＝０の根√ｄを添加して得られる体Ｋ（√ｄ）を考えることができます．２次体Ｋ（√ｄ）の元も一意的に

　Ｋ＝Ｑ（有理数体）のとき，一般に０，１以外の平方因数をもたない整数ｄ，すなわち，

　Ｑ（√ｄ）を有理数体Ｑの２次拡大体とするとき，ａ＋ｂ√ｄの共役数をａ－ｂ√ｄで表します（ｄ＜０ならば通常の複素共役である）．Ｋ＝Ｑ（√ｄ）とすると，ある整数ｍ，ｎが存在して，

が代数的整数であるかどうかは，αのノルムとトレースがともに整数であることが必要十分条件ですから，次のようにして判定することができます．

　　ｄ＝１（ｍｏｄ４）　　→｛（ａ＋ｂ√ｄ）／２｜ａ，ｂは整数，ａ＝ｂ（ｍｏｄ２）｝

と表されるとき（すなわち，２次元ベクトル空間），｛α1，α2｝を標準基底というのですが，標準基底を｛１，ω｝とすると

は，加法および乗法に関して閉じて環になります．このＡ（ω）を２次体Ｑ（√ｄ）の整数環と呼びます．

　したがって，Ｄ＝０または１（ｍｏｄ４）となることがわかります．また，これより，平方因数をもたない整数ｄ（≠０，１）の集合，２次体の集合，基本判別式の集合の間には，それぞれ全単射対応があることになります．

　Ｑ（√ｄ）の整数環をいかに定義すべきかが確定すると，次に，いかなるｄに対してＡ（ω）は一意分解環になるのかが問題となります．

　正の整数では素因数分解の一意性が成り立ちますが，扱う数の範囲を広げると，既約因子の積に２通りに表されるような状況を生じます．たとえば，扱う数の範囲を整数から，

　Ｑ（√ｄ）の整数環Ａ（ω）が必ずしも一意分解環でないことに最初に気づいたのは，ディリクレでした．なお，この状況に対して，これはまだ分解が足りないためだと考えることもできます．すなわち，２，３，１±√－５は素数でなく，さらに究極の数α，β，γ，δがあって，

が６の素因数分解となるという考え方をクンマーの理想数の理論といいます．もちろん，α，β，γ，δはＺ（√－５）の中には存在しません．素因数分解したときの素因数がすべて含まれている集合を考えるのです．

　これは２次形式論に移すと，どのようなｄに対して判別式Ｄ＝ｄあるいはｄ／４の形式の同値類がただ１つになっているかということです．ガウスは証明なしにではありますが，負のｄに対してＡ（ω）が単項イデアル環になっているものをすべて決定しています．この事実に最終的な証明が与えられたのが，１９６６年のベイカー・シュタルクの定理というわけです．

　素因数分解の一意性との関連で，単数についても説明しておきますが，単位元「１」の約数を単数といいます．

で表される複素数が「ガウスの整数」です．ガウスの整数は和と積の演算に関して閉じています→「ガウスの整数環」．

　素数は複素数体でも定義されますが，数論の教えるところによると，複素数体においても，単数を除いて，素因数分解の一意性が成立します．４ｋ＋３型素数はやはりガウス素数ですが，２および４ｋ＋１型素数はガウス素数の積に分解されるのです．

と書くことができます．ここで，ωは１の虚立方根で，ｘ^2＋ｘ＋１＝０の根です．それに対して，ガウス整数にはｘ^2＋１＝０が対応しています．

　ここにもやはり素因数分解の一意性が成立します．２および６ｋ＋５型素数はアイゼンスタイン素数ですが，３および６ｋ＋１型素数はアイゼンスタイン素数の積に分解されます．

　－１の平方根は１の虚４乗根ですから，ガウス整数は円の４分体の中の整数環Ｚ（ｉ），アイゼンスタイン整数は円の３分体の中の整数環Ｚ（ω）と考えることができるでしょう．

　ｂ^2＝４はα＝±１を与えるからｂ^2≠４とする．また，ｂ^2－４＝ｃ^2と平方数になる場合は（ｂ＋ｃ）（ｂ－ｃ）＝４より，

　すなわち，Ｑ（√２），Ｑ（√３），Ｑ（√６），Ｑ（√７）の基本単数を求めると，それぞれ，

　なお，ペル方程式の自然数解を求めることはそれほどやさしくはありません．Ｑ（√１９９）を考えてみると，１９９＝３（ｍｏｄ４）の素数ですが，

　　√１９９＝［１４；９，２，１，２，２，５，４，１，１，１３，１，１，４，５，２，２，１，２，９，２８，・・・］

　Ｑ（√ｄ）はイデアルの同値類を有限個しかもたないのですが，イデアル類の個数をｈ＝ｈ（ｄ）と表し，Ｑ（√ｄ）の類数と呼びます．類数１をもつというのは，Ｑ（√ｄ）のすべてのイデアルが単項であること，すなわち，２次体Ｋのすべての代数的整数が，Ｋの素数の積として表され，その表現が単数（１の約数となる整数）を無視して，一意であることをいいます．

　別の言葉でいうと，類数とはすべての数体に付随した不変量（自然数）であって，たとえば，有理数体Ｑは類数１をもち，ガウスの数体Ｑ（ｉ）も類数１をもちます．類数１をもつ数体はＱと類似した数論的性質をもつのですが，大きな類数をもつ数体はＱとかなりかけ離れた性質をもっているというわけです．

　類数１をもつ実２次体は無限に多く存在すると予想されていますが，それに対して，ガウスは類数ｈの虚２次体Ｑ（√ｄ）は有限個しかないと予想しました．

　また，ガウスは類数の理論を発展させ，ｄ＜０とし，ｔをＤの相異なる素因数の個数とするとき，２^(t-1)はＱ（√ｄ）の類数を割り切ることを証明しました．これは類数の整除性に関して得られた最初の結果です．したがって，ｈ＝１ならば

　以下，定符号形式（Ｄ＜０）に関する類数問題の解について説明します．とはいっても，類数の具体的な計算（ディリクレの類数公式）については割愛しますが，１９６６年に，ベイカーとシュタルクが独立に類数１の虚２次体Ｑ（√ｄ）をすべて決定し，ガウスの予想は肯定的に解決されました．

　すべてのｈ≧１に対して，類数ｈをもつ虚２次体Ｑ（√ｄ）は有限個しか存在しないことがわかったのですが，その後，次の課題である類数２をもつ虚２次体が探索されました．そして，１９７１年，ベイカーとシュタルクはそれぞれ独立にｈ（Ｄ）＝２となるのは，

　同様に，類数３をもつすべての２次体を決定することができるのですが，このような２次体は全部で１６個あり，

となることが示されています．こうして，与えられた類数をもつ２次体の個数が次々と計算されてきたのです．

より，ｎ^2＋ｎ＋４１は－４０≦ｎ≦－１に対しても素数値をとることがわかります．したがって，ｎ^2＋ｎ＋４１のｎをｎ－１に変換すればｎ^2－ｎ＋４１，ｎ－４０に変換すればｎ^2－７９ｎ＋１６０１が与えられますが，前者は－３９≦ｎ≦４０，後者は０≦ｎ≦７９なるすべてのｎに対して素数値をとります．

　また，１変数の２次多項式ではｎ^2＋ｎ＋１７や２ｎ^2＋２９なども高い確率で素数を生成します．ｎ^2＋ｎ＋１７については既に述べましたが，

は，ｘ＝０，１，・・・，２８において，連続する素数値をとる最適生成多項式の１つであって，類数２をもつ体Ｑ（√－５８）に対応しています．

が０≦ｘ≦ｐ－１において素数値をとることが必要十分であって，そのようなｄ＝－２ｐは

で与えられます．類数２の虚２次体と関係した最適素数生成多項式は，このほかに２つのタイプがあることが知られています．

　同様のことを１次式：ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｐに対して考えてみると，この等差数列の集合は無限に多くの素数を含む（ディリクレの算術級数定理）のですが，　　ｆ（０）＝ｐ，ｆ（ｐ）＝（ａ＋１）ｐ

　　ｆ（ｘ）＝６ｘ＋５は連続した５個の素数値５，１１，１７，２３，２９をとる．

　　ｆ（ｘ）＝１５０ｘ＋７は連続した７個の素数値７，１５７，３０７，４５７，６０７，７５７，９０７をとる．

　　ｆ（ｘ）＝９９１８８２１１９４５９０ｘ＋１３は連続した１３個の素数値をとる．

　　ｆ（ｘ）＝３４１９７６２０４７８９９９２３３２５６０ｘ＋１７は連続した１７個の素数値をとる．

・・・しかし，すべての素数ｐに対して，このような等差数列が存在するかどうかは知られていません．

　それでは，多変数の高次多項式ではどうでしょうか．１９７１年，旧ソ連のマチアセビッチは，正の値がすべて素数の集合となる多項式が存在するという驚くべき事実を，ヒルベルトの第１０問題の副産物として発見しています．

　その式は３７次で２４個の変数をもつ多項式と２１次で２１個の変数をもつ多項式でした．この多項式は負の値もとり，また，素数は多項式の値として繰り返し出現します．（現在のこのような式の最低次数は５，最底変数は１０になっています．）

　なお，整数係数をもつ多項式が，常に素数値をとることは不可能であることは証明されています．一方，すべての素数をもれなくつくり，しかも素数以外はつくらない公式は知られていません．素数を完全に定義する式が存在することは証明されていませんし，存在しないともわかっていません．