前回のコラムでは，位数ｎの群の型について扱いましたが，説明不足や自分にとっての未解決問題（位数８，９，１２の非可換群）が含まれていて，上滑りがちな記述に留まってしまいました．

　

　そのため，小生には不満が残ったのですが，今回のコラムではその後の調べでわかったしたことを追加・補完して，リベンジを果たしたいという思いがあります．とはいっても，既成事実の羅列の如くになってしまうのですが，雰囲気だけはなんとか伝えたいと思います．

　

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【１】位数ｎの群の型

　

　位数ｎの有限群が（同型を除いて）何通りあるか？−−−これは興味深い問題ですが，完全には解けていない難しい問題です．

　

　それでも，ｎが小さい場合に何個あるか知られていますので，有限群の型の分類についての結論を先に掲げたいと思います．

　

　　ｎ　　群の型

　　１　　単位群｛ｅ｝

　　２　　Ｚ2＝Ｓ2＝Ｄ1

　　３　　Ｚ3＝Ａ3

　　４　　Ｚ4，Ｄ2＝Ｚ2×Ｚ2

　　５　　Ｚ5

　　６　　Ｚ6，Ｄ3＝Ｓ3

　　７　　Ｚ7

　　８　　Ｚ8，Ｚ4×Ｚ2，Ｚ2×Ｚ2×Ｚ2，Ｄ4，Ｑ4

　　９　　Ｚ9，Ｚ3×Ｚ3

　　10　　Ｚ10，Ｄ5

　　11　　Ｚ11

　　12　　Ｚ12，Ｚ6×Ｚ2，Ｄ6＝Ｄ3×Ｚ2，Ａ4，Ｑ6

　　13　　Ｚ13

　　14　　Ｚ14，Ｄ7

　　15　　Ｚ15

　　16　　Ｚ16，Ｚ8×Ｚ2，Ｚ4×Ｚ4，Ｚ4×Ｚ2×Ｚ2，Ｚ2×Ｚ2×Ｚ2×Ｚ2，

　　　　　Ｄ8，Ｑ8，Ｚ2×Ｄ4，Ｚ2×Ｑ4など，合計１４個

　

　前回のコラムを復習しますが，群の型には，Ｚnを始めとして，Ｓn，Ａn，Ｄnなどの記号が与えられています．

　

　Ｚnは位数ｎの巡回群

　　｛ｅ，ｇ，ｇ^2，・・・，ｇ^(n-1)｝　　　（ｇ^n＝ｅ）

で，Ｃnと書かれることのほうが多いのですが，素数ｐを法とする既約剰余系

　　Ｚp＝｛１，２，・・・，ｐ−１｝

が位数φ（ｐ）＝ｐ−１の巡回群をなすことを踏襲して，この表ではＺnに統一しました．巡回群は可換群，また，可換群と可換群の直積は可換群ですから，したがって，位数が５以下の群はすべて可換群です．

　

　Ｄnはｎ次の正２面体群（位数２ｎ）で正ｎ角形の対称性のなす群，Ｓnはｎ次の対称群（位数ｎ！）でｎ文字の置換のなす群，Ａnはｎ次の交代群（位数ｎ！／２）でｎ文字の偶置換のなす群のことです．

　

　前回のコラムでは，正３角形の対称変換群Ｄ3について，３次対称群と同型

　　Ｓ3＝Ｄ3

であることを確かめましたが，位数が５以下の群がすべて可換群であったのに対して，Ｓ3は位数最小の非可換群として重要な存在となっています．

　

　位数６の非可換群はＳ3に同型であることを証明するのは，比較的簡単です．なお，正３角形の表側だけの対称変換群を考えれば，

　　Ａ3＝Ｚ3

を証明することができます．

　

　また，Ａ4は正４面体，Ｓ4は正６（８）面体，Ａ5は正１２（２０）面体の対称変換群であり，いずれも非可換群群です．交代群Ａ5は位数最小の非可解群であることが証明されています（ガロアの定理）．

　

　Ｄ2（位数４の正２面体群）はクラインの４元群と呼ばれるもので，長方形（菱形）の対称性のなす群であり，クラインの４元群のすべての元は２乗すると単位元になりますから，自分自身が逆元という特徴をもっています．

　

　クラインの４元群をＤ2と表すのは，それが仮想的な正２角形の対称変換群と見なされるからであって，同様に，正１角形の対称変換群として，

　　Ｄ1＝｛ｅ，ｇ｝　　　（ｇ^2＝ｅ）

が定義されます．

　

　　Ｄ2＝Ｚ2×Ｚ2

と同型ですが，ｋを任意の奇数とするとき，

　　Ｄ2k＝Ｚ2×Ｄk

が成り立ちます．

　

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　また，上の表でＱ4（位数８）は，４元数群

　　｛±１，±ｉ，±ｊ，±ｋ｝　　　ｉ^2＝ｊ^2＝ｋ^2＝ｉｊｋ＝−１

を指しています．集合｛±１，±ｉ｝は乗法に関して閉じていて，ｉを生成元（元の位数４）とする巡回群，したがって可換群ですが，Ｑ4は非可換群となります．

　

　位数６の正２面体群Ｄ3は２元｛ａ，ｂ｝によって生成される

　　｛１，ｂ，ｂ^2，ａ，ａｂ，ａｂ^2｝

ですが，Ｄ3では三角形の中心まわりの角度１２０°の右回り回転をｂとすると，ｂは３回やると元に戻るので

　　ｂ^3＝１

また，頂点を通る中心線に関して裏返す作用をａとすると

　　ａ^2＝１

２種類の作用の相互関係は

　　ａｂ＝ｂａ^2　　（ａｂａ^(-1)＝ｂ^(-1)）

と書けます．２つの生成元ａ，ｂが

　　ａ^2＝ｂ^3＝（ａｂ）^2＝１

という関係を満たすことを確かめてほしいのですが，正ｎ角形では一般に，

　　ａ^2＝ｂ^n＝（ａｂ）^2＝１

となり，積ａｂの位数は２なのです．

　

　同様に，４元数群Ｑ4は定義関係式，

　　ｐ^4＝ｅ，ｑ^2＝ｐ^2，ｑ^(-1)ｐｑ＝ｐ^(-1)

を満たす位数８の群，

　　｛ｅ，ｐ^2，ｐ，ｐ^3，ｑ，ｑｐ^2，ｐｑ，ｑｐ｝

となります．ｐとｐ^3，ｑとｑｐ^2，ｐｑとｑｐは互いに逆元のペアとなります．

　

　ここで，記号ｉ，ｊ，ｋを

　　ｉ（ｅ−ｐ^2）＝（ｅ−ｐ^2）ｉ＝ｐ−ｐ^3

　　ｊ（ｅ−ｐ^2）＝（ｅ−ｐ^2）ｊ＝ｑ−ｑｐ^2

　　ｋ（ｅ−ｐ^2）＝（ｅ−ｐ^2）ｋ＝ｐｑ−ｑｐ

によって定義し，この群の乗法表を考慮に入れると，

　　ｉ^2＝ｊ^2＝ｋ^2＝ｉｊｋ＝−１

に従って結合することが理解されます．別の言い方をすると，ｅ，ｐ^2，ｐ，ｑ，ｐｑは１，−１，ｉ，ｊ，ｋと同じ乗法法則に従うというわけです．

　

　なお，

　　ｐ^2^(m-1)＝ｅ，ｑ^2＝ｐ^2^(m-2)，ｑ^(-1)ｐｑ＝ｐ^(-1)　　（ｍ＞２）

によって定義される一般４元数群は，位数２^(2m-3)をもちます．

　

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【２】位数８の群，位数９の群，位数１２の群

　

　結局，位数８の群には，互いに同型でない３つの可換群，

　　Ｚ8，Ｚ4×Ｚ2，Ｚ2×Ｚ2×Ｚ2

以外に２つの非可換群，

　　Ｄ4，Ｑ4

があり，全部で５つの型があることがわかりました．

　

　非可換群Ｄ4の定義関係式は，

　　ｐ^4＝ｅ，ｑ^2＝ｅ，ｑ^(-1)ｐｑ＝ｐ^3

Ｑ4の定義関係式，

　　ｐ^4＝ｅ，ｑ^4＝ｅ，ｑ^(-1)ｐｑ＝ｐ^(-1)，ｑ^2＝ｐ^2

で表されます．

　

　また，位数９の群は可換群に限られ，

　　Ｚ9，Ｚ3×Ｚ3

の２通りです．

　

　可換群Ｇの位数を

　　ｎ＝ｇ1ｇ2　　　（ｇ1，ｇ2）＝１

とするとき，Ｇ1，Ｇ2はＧの部分群で，かつ，直積

　　Ｇ＝Ｇ1×Ｇ2

が成り立ちますから，たとえば，

　　Ｚ12＝Ｚ3×Ｚ4

となります．

　

　もっと一般的に，可換群Ｇの位数が

　　ｎ＝ｐ1^n1・ｐ2^n2・・・ｐk^nk

と素因数分解されるとき，Ｇは素数ベキ位数ｐi^niの部分群の直積

　　Ｇ＝Ｇ1×Ｇ2×・・・×Ｇk

に分解されます．このとき，各ＧiをＧのｐiシロー群と呼びます．この分解が既約分解になるとは限らないのですが，シローの定理は有限群を調べるための基本的な道具となっています．

　

　こうして，位数１２の群には，２つの可換群，

　　Ｚ12，Ｚ6×Ｚ2，

以外に３つの非可換群，

　　Ｄ6＝Ｄ3×Ｚ2，Ａ4，Ｑ6

の全部で５つの型があることがわかりました．

　

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【３】位数１３の群，位数１４の群，位数１５の群，位数１６の群

　

　位数ｎの有限群が同型を除いてγ（ｎ）個存在するとします．一般のｎについてγ（ｎ）を求めることは未解決ですが，

　　「ｎが素数ならば，γ（ｎ）＝１」

が成り立ちます．

　

　なぜなら，任意の元の位数は素数位数ｎの約数ですから，ｎとなり，素数位数の群は巡回群Ｚnに限られるからです．したがって，位数１３の群はＺ13のみとなります．

　

　しかし，この定理の逆は成り立ちません．たとえば１５は素数ではありませんが，位数１５の群は巡回群Ｚ15に限られます．

　　Ｚ15＝Ｚ3×Ｚ5

というわけです．

　

　一般に，有限群Ｇの位数ｎが

　　ｎ＝ｐｑ　　（ｐ，ｑは素数でｐ＞ｑ）

かつ

　　ｐ≠１　　（ｍｏｄ　ｑ）

のとき，Ｇは巡回群であることがわかっています．言い換えれば，位数ｎをもつ群がすべて同型（したがって巡回群）であるためには，平方因子をもたないｎとφ（ｎ）が互いに素であることが必要十分条件であり，この条件を満たすｎの例をあげると

　　１５，３３，３５，５１，６５，６９，７７，８５，８７，９１，９５，・・・

であることが知られています（ディクソン，１９０５年）．

　

　また，素数ｐに対して，

　　γ（ｐ）＝１　　　巡回群（可換群）

　　γ（２ｐ）＝２　　（Ｚ2p，Ｄp）

であることは前回述べましたが，このことから位数１４の群は，

　　Ｚ14，Ｄ7

の２通りとなります．

　

　さらに，素数ベキ位数に対して

　　γ（ｐ）＝１　　　　（可換群）

　　γ（ｐ^2）＝２　　　（可換群）

　　γ（ｐ^3）＝５

　　γ（ｐ^4）＝１４　　（ｐ＝２）

　　γ（ｐ^4）＝１５　　（ｐ≠２）

であることがわかっています．

　

　これによれば，

　　γ（２^4）＝１４

であり，それらは可換群５個

　　Ｚ16，Ｚ8×Ｚ2，Ｚ4×Ｚ4，Ｚ4×Ｚ2×Ｚ2，Ｚ2×Ｚ2×Ｚ2×Ｚ2，

非可換群９個

　　Ｄ8，Ｑ8，Ｚ2×Ｄ4，Ｚ2×Ｑ4など，合計１４個になります．

　

　非可換群９個の定義関係式は，

　　1)ｐ^4＝ｅ，ｑ^2＝ｅ，ｑ^(-1)ｐｑ＝ｐ^5

　　2)ｐ^4＝ｅ，ｑ^2＝ｅ，ｒ^2＝ｅ，ｒ^(-1)ｐｒ＝ｑｐ^2，

　　　ｑ^(-1)ｐｑ＝ｐ，ｒ^(-1)ｐｒ＝ｐ

　　3)ｐ^4＝ｅ，ｑ^4＝ｅ，ｑ^(-1)ｐｑ＝ｐ^3

　　4)ｐ^4＝ｅ，ｑ^2＝ｅ，ｒ^2＝ｅ，ｒ^(-1)ｐｒ＝ｐ^3，

　　　ｐ^(-1)ｑｐ＝ｑ，ｒ^(-1)ｑｒ＝ｑ

　　5)ｐ^4＝ｅ，ｑ^2＝ｅ，ｒ^2＝ｅ，ｒ^(-1)ｐｒ＝ｐｑ，

　　　ｑ^(-1)ｐｑ＝ｐ，ｒ^(-1)ｑｒ＝ｑ

　　6)ｐ^4＝ｅ，ｑ^4＝ｅ，ｒ^2＝ｅ，ｑ^(-1)ｐｑ＝ｐ^(-1)，

　　　ｑ^2＝ｐ^2，ｒ^(-1)ｑｒ＝ｑ，ｒ^(-1)ｐｒ＝ｐ

　　7)ｐ^8＝ｅ，ｑ^2＝ｅ，ｑ^(-1)ｐｑ＝ｐ^(-1)

　　8)ｐ^8＝ｅ，ｑ^2＝ｅ，ｑ^(-1)ｐｑ＝ｐ^3

　　9)ｐ^8＝ｅ，ｑ^4＝ｅ，ｑ^(-1)ｐｑ＝ｐ^(-1)，ｑ^2＝ｐ^4

で表されます．

　

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【４】位数ｘｘの群，・・・

　

　最後に，同じ位数ｎをもつ互いに同型でない群の個数についてまとめておきます．これで３２より小さいすべての位数に対する群の異なる型の個数を与えたことになります．

　

　　ｎ　　群の個数　　ｎ　　群の個数

　　17　　１　　　　　27　　５

　　18　　５　　　　　28　　４

　　19　　１　　　　　29　　１

　　20　　５　　　　　30　　４

　　21　　２　　　　　31　　１

　　22　　２　　　　　32　　５１

　　23　　１　　　　　64　　２６７

　　24　　１５　　　　128　 ２３２８

　　25　　２　　　　　256　 ５６０９２

　　26　　２　　　　　512　 １０４９４２１３

　

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［補］５次以上の交代群

　

　群は，歴史的には，代数方程式の解の置換の研究として誕生しました．１７７０年，ラグランジュは代数方程式の根の置換群を研究しました．すなわち，群の概念を生み出したのが置換群なのです．

　

　ｎ≧５についてＡnは単純群となるのですが，このことは，５次以上の代数方程式に代数的解法がない（＝方程式の係数間の加減乗除とベキ根ととるという操作によって得られない：アーベルの定理，１８２４年）と本質的な関連をもっています．

　

　この方法を一般化して，ガロアは代数方程式の解集合の置換群と代数方程式の可解性の密接な関係を発見しました．可解群の説明は割愛しますが，交代群Ａ5は位数最小の非可解群であることが証明されています（ガロアの定理）．また，それを部分群として含むＳn，Ａn（ｎ≧５）の非可解性も証明されます．なお，任意の可換群は可解群です（逆は成立しない）．

　

　アーベル・ガロア理論から，５次以上の代数方程式に代数的解法がないことが明確になったのですが，そのとき使われたアイデアが群と呼ばれる概念で，対称変換群の性質により，この難問がこともなげに解けてしまうのです．ガロア理論は，２０世紀以後の代数学の研究対象を変えてしまい，抽象代数学と呼ばれる分野が誕生したのです．→コラム「代数学小史」参照

　

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［補］正２面体群Ｄ3と３次曲線のｊ-不変量

　

　射影変換によって互いに写り合う３次曲線は同型とみなされます．そこで，３次曲線のｊ-不変量が定義されます．

　

　非特異３次曲線の標準型：

　　ｙ^2＝ｘ（ｘ−１）（ｘ−λ）

のｊ-不変量は

　　ｊ＝２^8（λ^2−λ＋１）^3／λ^2（λ−１）^2

によって定義されます．λ＝−１のときｊ＝１７２８，λ＝−ζ6（１の６乗根）のときｊ＝０となります．

　

　ｊｰ不変量はモジュラー不変量とも呼ばれ，

　　ｊ（λ）＝ｊ（１−λ）＝ｊ（１／λ）

　＝ｊ（１−１／λ）＝ｊ（１／（１−λ））＝ｊ（λ／（１−λ））

ですから，４個の点｛０，１，λ，∞｝の入れ替えに依存しないinvariantで，最も単純で重要な保型関数と考えられます．

　

　複比を

　　λ＝｛（λ0−λ2）／（λ1−λ2）｝／｛（λ0−λ3）／（λ1−λ3）｝

によって定義すると，λiの順序を変えるとλの値は変わります．すなわち，｛λ0，λ1，λ2，λ3｝からつくられる複比の値は，

　　λ，１−λ，１／（１−λ），１／λ，λ／（λ−１），（λ−１）／λ

の６つのどれかに移ります．

　

　この順序による曖昧さを消すために，λの６つの分数変換の不変式をとって，

　　ｊ＝２^8（λ^2−λ＋１）^3／λ^2（λ−１）^2

とおくのです．複比は一次分数変換で不変であり，ｊもまた射影変換で不変です．

　

　すなわち，複比

　　λ，１−λ，１／（１−λ），１／λ，λ／（λ−１），（λ−１）／λ

のどの値を代入してもｊは不変なのです．

　

　この６つの関数は，写像の積に関して，

　　２面体群Ｄ3（＝３次対称群Ｓ3）

になることが容易に確かめられます．シュワルツはこのことを６面をもつ２重ピラミッド的（＝正２面体群）と表現しています．→コラム「超幾何関数とフックスの問題」参照

　

　なお，

　　ｊ（λ）＝ｊ（１−λ）＝ｊ（１／λ）

が成り立てば，あとの等式はこの２つから導かれますから，有理関数

　　（λ^2−λ＋１）^3／λ^2（λ−１）^2

が本質的であって，係数２^8には本質的な意味はありません．実際，

　　（ｘ^2−ｘ＋１）^3／ｘ^2（ｘ−１）^2＝（λ^2−λ＋１）^3／λ^2（λ−１）^2

と，変数ｘの方程式を考えると，

λ^2（λ−１）^2（ｘ^2−ｘ＋１）^3−（λ^2−λ＋１）^3ｘ^2（ｘ−１）^2＝０

はλ≠０，１より，６次方程式となり，

　　λ，１−λ，１／（１−λ），１／λ，λ／（λ−１），（λ−１）／λ

のどれを代入しても成り立ちます．重複が生ずるのは

　　λ^2−λ＋１＝０，λ＝１／２，λ＝−１，λ＝２

の場合に限ります．

　

　ワイエルシュトラスの標準形：

　　ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ　　　（２^2ａ^3＋３^3ｂ^2≠０）

のｊ-不変量を計算すると，

　　ｊ＝２^8・３^3ｂ^2／（２^2ａ^3＋３^3ｂ^2）

となります．ｊｰ不変量は，２つの楕円曲線が同じｊｰ不変量をもつかどうかなど，３次曲線を分類する（見分ける）ための指標になっているのです．

　

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