因数分解の算法（その５）

　代数学の教えるところによれば，ｎ元の体（加減乗除の演算が定義された集合）が存在するための必要十分条件は，ｎが素数（のベキ乗）になっていることで，位数２，３，４＝２^2，５の体は存在するが，位数６＝２×３の体は存在しない．そして，位数７，８＝２^3，９＝３^2の体は存在して，位数１０＝２×５のものは存在しない．コラム「因数分解の算法（その３）」は，このことを示すのに絶好のテーマになっていたと思う．

　今回のコラムでは位数ｎの群を扱うことにするが，任意のｎに対してｎ元の群は存在し，位数２の群は１つ，位数３の群は１つ，位数４の群は２つある．すると，位数５の群は？，位数６の群は？，・・・という疑問が湧いてくるのは自然な成り行きであろう．そこで，

　群とは，単なる集まりではなく，２項演算※が定義された集合Ｇで，次の条件が満たされているとき，Ｇを群と呼びます．

　このような抽象代数系が群であり，その構造が問題にされるようになったのは１９世紀末近くになってからのことです．交換法則を満たすことは仮定されていませんが，さらに，群Ｇの２項演算に交換法則が成立するとき，可換群（アーベル群）と呼ばれます．また，群Ｇが有限集合のときが有限群で，その元の個数は｜Ｇ｜と書かれ，Ｇの位数と呼ばれます．

　ところで，コンピュータはたくさんのスイッチ（ＯＮ／ＯＦＦ素子）からできているわけですが，

　単位元の行（列）には，演算表の欄外の元がまったく同じ順序で並んでいるわけですから，論理和＋は単位元として０を，論理積×は１をもつことがわかります．

　しかし，論理和では単位元０の逆元は０ですが，非単位元１の逆元は存在しません．同様に，論理積では単位元１の逆元は１ですが，非単位元０の逆元は存在しません．

は全部で２^4＝１６通りあるのですが，結局，単位元とどの元も逆元をもつようなものは，

と一致します．この群を記号でＺ2とかくことにします．Ｚ2は最も単純な群の例となっています．

はＺ2の否定，すなわち，０→１，１→０と置き換えたもので，本質的にＺ2と同型です．

　偶数か奇数かは２で割ったときの余りで識別できますが，同様に３で割ったときの余りで分類した数体系を考えます．余りは０，１，２のどれかですから，

　これが群Ｚ3ですが，位数３の群は同型のものを除けばＺ3しかありません．次に，このことを証明しましょう．

　逆元が存在するためには，１つの行（列）には同じ元は現れませんから，(1)にはｅかｂが入りますが，(1)にｅ，(2)にｂを入れると

　位数２の群，位数３の群はそれぞれ１通りしかないことをみてきましたが，引き続き，位数４の群について調べてみましょう．

　実は４番目は直積Ｚ2×Ｚ2と同型になっているのですが，直積Ｇ1×Ｇ2とは順序のある組（ｇ1，ｇ2）の全体で与えられる集合で，群Ｇ1（演算※1）と群Ｇ2（演算※2）のとき，直積上で，演算※が

　次に，Ｚ4とＺ2×Ｚ2が同型かどうかを調べてみましょう．群Ｇの元ｇについて，ｇ^k＝ｅとなる自然数ｋが存在するとき，ｋの中で最小のものを元ｇの位数と呼びます．元の位数と群の位数｜Ｇ｜と紛らわしいので，混同しないで下さい．

を紹介します．前節で，位数４の群Ｚ4の元の位数は１，２，４，位数４の群Ｚ2×Ｚ2の元の位数は１，２であることをみてきましたが，この定理は，有限群において，任意の元の位数はその群の位数の約数であるという事実から得られます．

　巡回群の例をあげますが，平面の回転群Ｇを考えてみましょう．自然数ｋが与えられたとき，

となります．このように，群Ｇの元が皆一つの生成元＜ω＞のベキの形で表されるとき，「巡回群」といいます．

　このように，位数ｎの巡回群：Ｃnは，正ｎ角形の原点を通る１つの軸を中心とした２π／ｎ回転から生成される群と等価と見なすことができるので，ＳＯ（２）と絶対値１の複素数のなす乗法群とは同型になります．

　また，位数ｎの巡回群：Ｃnは，ω＝１とおいたｍｏｄ　ｎの加法群：Ｚnと同型であることも容易に理解されます．したがって，「位数が素数ｐの群はＺpと同型である」ことになり，

が互いに相異なることですから，生成元の個数はオイラーの関数：φ（ｋ）個となります．

　φ（ｋ）は｛１，２，・・・ｋ｝の中でｋと互いに素な自然数の個数として定義されます．たとえば，ｋ＝６ならφ（６）＝２となり，｛１，２，３，４，５，６｝のなかで６と互いに素なものは１と５の２つで，生成元はωとω^5となります．

　既にお気づきのように，位数６が抜け落ちていますが，これも埋めていきましょう．

　球面上の運動の有限群は５つの回転群（巡回群，正２面体群，正４面体群，正８面体群，正２０面体群）＝広義の正多面体群に限ることが知られていますが，位数６の巡回群：Ｃ6（正六角形の回転群＝Ｚ6と同型）は省略して，位数６の正２面体群：Ｄ3について考察してみます．

　平面の回転群をそのまま空間の群と見なしたものが巡回群ですが，ＳＯ（３）ではその裏返しも存在し，位数ｋの巡回群（回転運動）とその鏡映ｓからなる

　「正２面体群」とは，正ｎ角形をそれ自身に移す回転全体のなす群であって，重心を通る垂直軸を中心とした回転と対称軸を中心としたπ回転から生成される位数２ｎの群と幾何学的に考えることができます．この正２面体という奇妙な名前は，２枚の正多角形を貼り合わせたものをつぶれた多面体と見なすことから由来しています．

　ここで，１つの正三角形を考えることにします．三角形の中心まわりの角度１２０°の右回り回転をｂとすると，ｂは３回やると元に戻るので

です．すなわち，位数３の巡回群｛１，ｂ，ｂ^2｝とその裏返し｛ａ，ａｂ，ａｂ^2｝とからなります（回転∪鏡映）．

　Ｄ3の群表を書けば，どの元も各行各列にちょうど１回ずつ登場し，魔法陣のようであることが理解されるでしょう．

のように，元と元を１対１で置換する写像も群をなします．この群を対称群，その部分群を置換群と呼びます．また，偶置換全体も対称群の部分群になっていて，これを交代群と呼びます．ｎ文字の置換全体がなす群がｎ次対称行列Ｓnというわけです．その位数｜Ｓn｜はｎ！に等しくなります．

　Ｓ3は主対角線に関して非対称ですから，交換法則が成り立たない非可換群で，Ｓ3は位数が最小の非可換群として重要な存在となっています．

　実は，素数ｐに対し，位数２ｐの群は巡回群Ｚ2pか正２面体群Ｄpと同型であるという定理があります．そこで，証明抜きで結論にはいりますが，位数６の有限群は

　直積Ｚ2×Ｚ3については検討しませんでしたが，位数は６でしかも可換群ですから，Ｚ2×Ｚ3はＺ6と同型になります．位数６の場合と同様に，位数１０の群はＺ10かＤ5と同型となります．Ｚ10はＺ2×Ｚ5と同型です．

　なお，正２面体群は正ｎ角形を自分自身にうつす写像全体をなすわけですが，正３角形に対する正２面体群Ｄ3（位数６）はＳ3と同型，正方形に対する正２面体群Ｄ4（位数８）は，Ｓ4（位数２４）の部分群となっています．

　４文字１，２，３，４の置換全体のなす群が４次対称群Ｓ4で，その位数は４！＝２４となりますが，一般に位数ｎの有限群は，ｎ次対称群Ｓnの部分群と同型になることが知られています．

の部分だけを取り出すとＺ3と同型ですから，｛ｅ，ｃ1，ｃ2｝はＳ3の位数３の部分群，また，

だけを取り出すとＺ2と同型ですから，｛ｅ，ｔ1｝はＳ3の位数２の部分群であることがわかります．

　有限群Ｇの部分群Ｈに対し，｜Ｈ｜は｜Ｇ｜の約数であるというのが有名なラグランジュの定理です．有限群において，任意の元の位数はその群の位数の約数であるという定理については前述しましたが，このことがラクランジュの定理と密接に関係していることは明らかでしょう．ラグランジュの定理は，たとえば，位数６のＳ3には位数４や位数５の部分群は存在しないということを教えてくれます．

　位数７，１０，１１の群の群は解決済みなので，位数８，９，１２の場合をみていきましょう．

　位数４の場合にＺ4とＺ2×Ｚ2の２つの群が現れましたが，一般に素数ｐに対し，位数がｐ^nの可換群Ｚp^nは，

のように，位数がｐのベキ乗である巡回群Ｚp^kのいくつかの直積と同型であるという「可換群の基本定理」が知られています．

　また，位数１２＝２^2・３の可換群Ｇは，位数２^2の可換群Ｇ1と位数３の可換群Ｇ2の直積と同型になり，Ｇ1はＺ4とＺ2×Ｚ2の２通り，Ｇ2はＺ3の１通りですから，

　異なる素数ｐiに対し，ｎ＝ｐ1^n1・ｐ2^n2・・・ｐk^nkのとき，位数ｎの巡回群Ｚnは，直積

に分解されるのですが，位数ｎの可換群・巡回群の構造は，ｎの素因数分解を反映しているというわけです．

　残念ながら，非可換群についての結果はわかりませんでした．たとえば，位数１２の群には正４面体群があり，これは４次の交代群：Ａ4と同型で，巡回群Ｃ12（Ｚ12）や正２面体群Ｄ6とは異なります．また，位数１２の非可換群では，Ｄ3×Ｚ2なども考えられるところです．

がＧのすべての元ａに対して成立するとき，ＨをＧの正規部分群と呼ぶのだが，正規部分群の正体は，群準同型の核にあたる．

　シローの定理により，群Ｇの位数｜Ｇ｜を割るすべての素数ｐに対するシローｐ部分群が複雑に絡み合って，群Ｇ全体の構造が決まっているのですが，とはいっても，「群論」は取っつきにくいし，わかったようでいても，いつまでもわからないというのが本音です．

　かくいう小生も群・環・体などの書物を読むと，定義がややこしいのに辟易し，個々の公式の運用に埋没してしまいます．そのすべてを会得することは夢のまた夢であって，現実としては，見はてぬ夢として諦めざるを得ないとも思いますが，ともあれ，「群の積を保存するという基準に基づいて，すべての群を分類すること」が群論の究極の目的となっているのです．

　正多面体の回転を考えると，正４面体（位数１２）では４つの頂点の偶置換を引き起こすので４次交代群Ａ4と同型，正８面体（位数２４）では対面する面は４組あり，これらの組の置換を引き起こすので４次対称群Ｓ4と同型，正２０面体（位数６０）では３０個の辺を５組に分ける偶置換として作用するので５次交代群Ａ5と同型になります．正多面体の回転群は３次の特殊直交群ＳＯ（３）の有限部分群です．

　３次元空間の回転群には，この他に２種類の有限部分群，正ｎ角錐のもつ巡回群Ｃnと正ｎ角柱のもつ二面体群Ｄnがあります．クラインは，平面内での正ｎ角形を，球の赤道に内接する正ｎ角形の各頂点と北極・南極を結んでできる多面体を上下から赤道面に押しつぶしてできる体積が０の正凸面体と考え，この群を正２面体群と命名しました．

　２面体群とは，正ｎ角形を回転してもとの正ｎ角形に重ねる巡回群に対し，折り返しも用いてもとの正ｎ角形に重ねる変換すべてを含む群となります．すなわち，巡回群Ｃnは正ｎ角錐のもつ回転対称性であり，正二面体群Ｄnはと正ｎ角柱のもつ回転対称性であって，桜の花はＣ5，雪の結晶はＤ6というわけです．