■因数分解の算法（その３）
ｘ^2＋３ｘ＋２＝（ｘ＋１）（ｘ＋２）
は整数係数のおなじみの因数分解の問題であるが，足して３，掛けて２となる２数を見つければよい．１と２がこれを満たすわけであるから，答えは右辺のようになる．
それでは，以下の例はどうであろうか？
ｘ^2＋４＝（ｘ＋１）（ｘ＋４）
ｘ^2＋２ｘ＋２＝（ｘ＋３）（ｘ＋４）
一見分解できなさそうに見える左辺が，右辺のように１次式の積として表されているのだから明らかな誤りと映るに違いない．ところがこれが正しいのである．
そんな馬鹿なと思われるかもしれないが，実はこの因数分解のトリックは「有限体」にある．整数や有理数，実数や複素数の元は無限個あり，演算規則が定義されている．整数は環をなし，有理数，実数，複素数，４元数，ｐ進数は体をなす．このことから，体の定義を思い出してほしいのだが，０以外の元が常に乗法に関する逆元をもつ数体系を「体」という．
そして，有限個の元と体の構造をもつ数体系が「有限体」である．有限体は，計算機や通信などでいまや花形の数学の理論となっている．そんなわけで，今回のコラムでは有限体を係数にもつ多項式の因数分解を扱うことにした．
なお，代数学の教えるところによれば，ｎ元の体（加減乗除の演算が定義された集合）が存在するための必要十分条件は，ｎが素数（のベキ乗）になっていることで，位数２，３，４＝２^2，５の体は存在するが，位数６＝２×３の体は存在しない．そして，位数７，８＝２^3，９＝３^2の体は存在して，位数１０＝２×５のものは存在しない．今回のコラムは，このことを示すのに絶好のテーマになっていると思う．
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【１】有限環と有限体
整数には奇数と偶数がありますが，
ＯＤＤ＝１，ＥＶＥＮ＝０
として，加法と乗法を定義すると
＋ ０ １ × ０ １
０ ０ １ ０ ０ ０
１ １ ０ １ ０ １
となります．
偶数か奇数かは２で割ったときの余りで識別できますが，同様に３で割ったときの余りで分類した数体系を考えます．余りは０，１，２のどれかですから，
＋ ０ １ ２ × ０ １ ２
０ ０ １ ２ ０ ０ ０ ０
１ １ ２ ０ １ ０ １ ２
２ ２ ０ １ ２ ０ ２ １
のような演算を定義することができるわけです．
もう少し続けてみることにしましょう．ｎ＝４のとき
＋ ０ １ ２ ３ × ０ １ ２ ３
０ ０ １ ２ ３ ０ ０ ０ ０ ０
１ １ ２ ３ ０ １ ０ １ ２ ３
２ ２ ３ ０ １ ２ ０ ２ ０ ２
３ ３ ０ １ ２ ３ ０ ３ ２ １
ｎ＝５のとき
＋ ０ １ ２ ３ ４
０ ０ １ ２ ３ ４
１ １ ２ ３ ４ ０
２ ２ ３ ４ ０ １
３ ３ ４ ０ １ ２
４ ４ ０ １ ２ ３
× ０ １ ２ ３ ４
０ ０ ０ ０ ０ ０
１ ０ １ ２ ３ ４
２ ０ ２ ４ １ ３
３ ０ ３ １ ４ ２
４ ０ ４ ３ ２ １
その算法（和と積）はそれぞれ和，積のｍｏｄ５での余りとなります．足し算では巡回するだけで面白味がないので，これ以降はかけ算だけを続けてみます．
ｎ＝６のとき
× ０ １ ２ ３ ４ ５
０ ０ ０ ０ ０ ０ ０
１ ０ １ ２ ３ ４ ５
２ ０ ２ ４ ０ ２ ４
３ ０ ３ ０ ３ ０ ３
４ ０ ４ ２ ０ ４ ２
ｎ＝７のとき
× ０ １ ２ ３ ４ ５ ６
０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０
１ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６
２ ０ ２ ４ ６ １ ３ ５
３ ０ ３ ６ ２ ５ １ ４
４ ０ ４ １ ５ ２ ６ ３
５ ０ ５ ３ １ ６ ４ ２
６ ０ ６ ５ ４ ３ ２ １
いずれのかけ算の表でも，
１）０の行・列はすべて０
２）主対角線に関して対称
です．また，０以外の行・列では，ｎ＝２，３，５，７の場合，０〜ｎ−１が一度ずつ現れましたが，ｎ＝４，６ではそうはならず，非常に大きな違いがあることに気づきます．
ａ・ａ^(-1)＝１となるａ^(-1)をａの逆元といいます．ｎ＝７の表で説明すると，１の逆元は１，２の逆元は４，３の逆元は５，４の逆元は２，５の逆元は３，６の逆元は６となるというわけです．
０以外の元が常に乗法に関する逆元をもつ数体系を「体」といいますが，以上の結果において，２，３，５，７は素数，４，６は合成数ですから，集合
｛０，１，２，・・・，ｎ−１｝
はｎが素数のとき体となる，合成数のとき環であって体ではないことを示しているのです．
重要なのは，
「ｐが素数のとき，Ｚ／ｐＺは体である．」
ということで，素数ｐで割ったときの余りで分類した数体系を考えると，ｐ個の元からなる有限体ができあがります．そして，素数ｐに対して定まる有限体をＦpと書きます．
Ｆ7＝｛０，１，２，３，４，５，６｝
はあるが，Ｆ6というものは存在しないというわけです．
なお，有限体は乗法の交換法則を満たすので可換体となります．有限体が必ず可換体になることを証明したのはウェダーバーンです（１９０５年）．
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有限体Ｆpの０以外の元をａとします．このとき，ａをｐ回足すとはじめて０になります．素数７を例にとって，Ｆ7でａ＝３を何回もたしてみると
３＋３＝６
３＋３＋３＝６＋３＝２
３＋３＋３＋３＝２＋３＝５
３＋３＋３＋３＋３＝５＋３＝１
３＋３＋３＋３＋３＋３＝１＋３＝４
３＋３＋３＋３＋３＋３＋３＝４＋３＝０
このｐを有限体Ｆpの標数といいます．
また，ａをｐ−１回掛けると１になります．Ｆ7において
ａ＼^n １ ２ ３ ４ ５ ６
１ １ １ １ １ １ １
２ ２ ４ １ ２ ４ １
３ ３ ２ ６ ４ ５ １
４ ４ ２ １ ４ ２ １
５ ５ ４ ６ ２ ３ １
６ ６ １ ６ １ ６ １
最後の列はすべて１です．
このように，ｐで割り切れない整数ａに対して，フェルマーの定理
ａ^(p-1)＝１ （ｍｏｄ ｐ）
が成り立つというわけです．また，このことからａ^(p-2)がａの逆元となることも理解されます．
１／ａ＝ａ^(p-2)
Ｆ7では，
１／３＝３^5＝５，１／６＝６^5＝６
なお，この表において，１は１乗してはじめて１になりますが，２は３乗して，３は６乗して，４は３乗して，５は６乗して，６は２乗してはじめて１になります．ｐと互いに素な整数ａがｐ−１乗してはじめて１になるとき，ａを原始根といいます．Ｆ7においては３，５が原始根です．
Ｆpにおける原始根ａが与えられたとき，０以外のすべての元は，
ａ^i （i=0〜p-2）
の形に表すことができます．
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【２】Ｆp係数多項式（方程式）
次に，有限体Ｆpを係数にもつ１変数多項式の集合Ｆp［ｘ］を考えます．たとえば，
ｘ^2＋２ｘ＋３
において，ｍｏｄ５の多項式と考えるというのは，係数がｍｏｄ５で合同な多項式はすべて同じものと見なすということです．
ｘ^2＋２ｘ＋３
＝ｘ^2＋７ｘ＋８
＝６ｘ^2−３ｘ＋３
＝−４ｘ^2−１２ｘ−２３
Ｆp［ｘ］が環をなすことは簡単に証明できます．
冒頭に掲げた問題は，Ｆ5において，多項式を１次式の積として表せというものなのですが，整数係数のときのように足して３，掛けて２となる２数１，２はＦ5でも１と２でよく，答えは
ｘ^2＋３ｘ＋２＝（ｘ＋１）（ｘ＋２）
となります．
ｘ^2＋４
では足して０，掛けて４となる２数は整数ではあり得ませんが，前述の足し算とかけ算と表を見ると，Ｆ5では１と４がこれを満たすので，
ｘ^2＋４＝（ｘ＋１）（ｘ＋４）
同様に足して２，掛けて２はＦ5では３と４より，
ｘ^2＋２ｘ＋２＝（ｘ＋３）（ｘ＋４）
となります．
この例ではＦ5だったので，前述の足し算とかけ算と表を見ながらやるとわかりやすいのですが，ｐが大きくなると簡単ではなくなります．そこで，因数定理「ｎ次方程式ｆ（ｘ）＝０がαを根にもつならば，
ｇ（ｘ）＝（ｘ−α）ｑ（ｘ）
という形に分解できる」を用いることにします．
この定理は（普通の）多項式の因数分解の方法を与えているのですが，Ｆp係数のｎ次方程式がＦpの中に根をもつ場合でも適用され，確実でしかも速いやり方になっています．
たとえば，
ｆ（ｘ）＝ｘ^2＋４
とおいて，ｘに順次０から４まで代入して，ｍｏｄ５として計算してゆくと
ｆ（０）＝４，ｆ（１）＝５＝０，ｆ（２）＝８＝３，ｆ（３）＝１３＝３，ｆ（４）＝２０＝０
より，ｆ（ｘ）＝０の２根は１（＝−４）と４＝−１．したがって，
ｘ^2＋４＝（ｘ−１）（ｘ−４）＝（ｘ＋４）（ｘ＋１）
同様に，
ｇ（ｘ）＝ｘ^2＋２ｘ＋２
では
ｇ（０）＝２，ｇ（１）＝５＝０，ｇ（２）＝１０＝０，ｇ（３）＝１７＝２，ｇ（４）＝２２＝２
より，ｇ（ｘ）＝０の２根は１（＝−４）と２（＝−３）の２個．したがって，
ｘ^2＋２ｘ＋２＝（ｘ−１）（ｘ−２）＝（ｘ＋３）（ｘ＋４）
普通にできる因数分解も，有限体Ｆ5上で考えると
ｈ（ｘ）＝ｘ^2＋３ｘ＋２
ｈ（０）＝２，ｈ（１）＝６＝１，ｈ（２）＝１２＝２，ｈ（３）＝２０＝０，ｈ（４）＝３０＝０
したがって
ｘ^2＋３ｘ＋２＝（ｘ−３）（ｘ−４）＝（ｘ＋２）（ｘ＋１）
このように，任意のＦp係数多項式Ｆp［ｘ］は有限個の既約多項式の積に分解されるのですが，整数と同様に，この分解は係数の違いを無視すれば一意に決まります．
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【３】拡大体Ｆp^2
前節では，ｆ（ｘ）＝０が根をもつ場合を考えましたが，逆に，根が一つもなかったらどうなるのでしょうか？
答えを先にいうと，環Ｆp［ｘ］をｍｏｄｆ（ｘ）で考えた剰余環を
Ｆp［ｘ］／ｆ（ｘ）
と記すのですが，ｆ（ｘ）が既約ならば
Ｆp［ｘ］／ｆ（ｘ）
は体となります．
すなわち「剰余体になる」が答えですが，証明には興味がないので，ここでは根が一つもないような方程式を利用して，有限体Ｆpを拡大したＦp^2を具体的に構成することにします．証明法を述べるのはやめて，考え方に焦点をあててみたいというわけです．
たとえば，Ｆ3における２次方程式
ｘ^2＋１＝０
を考えます．
ｆ（０）＝１，ｆ（１）＝２，ｆ（２）＝５＝２
ですから，これはＦ3の中には根をもちません（＝既約多項式）．
Ｆ3［ｘ］／（ｘ^2＋１）
では，剰余の次数は高々１次ですから，
Ｆ3［ｘ］／（ｘ^2＋１）＝｛ａｘ＋ｂ｜ａ，ｂはＦ3の元｝
また，Ｆ3＝Ｚ／３Ｚの元の集合は｛０，１，２｝ですから，
｛０，１，２，ｘ，ｘ＋１，ｘ＋２，２ｘ，２ｘ＋１，２ｘ＋２｝
の９個の剰余類からなります．
Ｆ3では−１＝２すなわち｛０，１，２｝＝｛０，１，−１｝ですから，
｛０，１，−１，ｘ，ｘ＋１，ｘ−１，−ｘ，−ｘ＋１，−ｘ−１｝
としても同じことです．ともあれ，ｆ（ｘ）の次数をｄとすると，Ｆp［ｘ］／ｆ（ｘ）の位数はｐ^d個あることがわかります．
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次に，この９個の元が体をなすだろうか？ すなわち，加減乗除が可能だろうか？ という問題が派生します．
Ｆ3［ｘ］／（ｘ^2＋１）＝｛ａｘ＋ｂ｜ａ，ｂはＦ3の元｝
において，ａｘ＋ｂをａｂとして３進数表示すれば，集合としては
｛００，０１，０２，１０，１１，１２，２０，２１，２２｝＝｛０，１，２，３，４，５，６，７，８｝
桁ごとのＦ3の加法，たとえば，
３＋５＝ｘ＋（ｘ＋２）＝２ｘ＋２＝２２＝８
をまとめると
＋ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
０ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
１ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ０
２ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ １ ２
３ ３ ４ ５ ６ ７ ８ １ ０ ２
４ ４ ５ ６ ７ ８ ０ １ ２ ３
５ ５ ６ ７ ８ ０ １ ２ ３ ４
６ ６ ７ ８ ０ １ ２ ３ ４ ５
７ ７ ８ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６
８ ８ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７
また，乗法は多項式としての積のｘ^2＋１による剰余，すなわち，右辺の乗算はｘ^2＋１が出てくるたびに０に置き換える（＝ｘ^2が出てくるだびに−１に置き換える）ことによって，たとえば，
３×５＝ｘ（ｘ＋２）＝ｘ^2＋２ｘ＝２ｘ−１＝２ｘ＋２＝２２＝８
が実現されます．
× ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０
１ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
２ ０ ２ １ ６ ８ ７ ３ ５ ４
３ ０ ３ ６ ２ ５ ８ １ ４ ７
４ ０ ４ ８ ５ ６ １ ７ ２ ３
５ ０ ５ ７ ８ １ ３ ４ ６ ２
６ ０ ６ ３ １ ７ ４ ２ ８ ５
７ ０ ７ ５ ４ ２ ６ ８ ４ １
８ ０ ８ ５ ７ ３ ２ ５ １ ６
このように０〜８が一度ずつ現れましたし，０以外の元が
１×１＝１
２×２＝１
（ｘ＋１）×（ｘ＋２）＝１
（ｘ＋２）×（ｘ＋１）＝１
２ｘ×ｘ＝１
（２ｘ＋１）×（２ｘ＋２）＝１
（２ｘ＋２）×（２ｘ＋１）＝１
のように常に乗法に関する逆元をもっているわけですから，
Ｆ3［ｘ］／（ｘ^2＋１）
が「体」となっていることがわかります．
この拡大体をＦ9と書きます．添字の９は９個の元からなることを表しています．前述したように
Ｚ／９Ｚ＝｛０，１，２，３，４，５，６，７，８｝
（一般にＺ／ｐ^2Ｚ）では，有限環とはなっても有限体にはならないわけですから，紛らわしいので，Ｆ3^2あるいは一般にＦp^2と書いた方がいいかもしれません．
なお，Ｆp^nの０でない元の全体は，位数ｐ^n−１の乗法群をなします．この群のすべての元は
ｆ（ｘ）＝ｘ^(p^n-1)−１＝０，すなわち，ｘ^(p^n)＝ｘ
を満たします．また，
（ｘ＋ｙ）^p＝ｘ^p＋ｙ^p （和のｐ乗はｐ乗の和）
（ｘｙ）^p＝ｘ^pｙ^p （積のｐ乗はｐ乗の積）
ですから，ｐ乗の算法は体をなしています．一般に，
｛ｆ（ｘ）｝^p＝ｆ（ｘ^p）
が成立します．
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有限体を係数にもつ方程式を考えて，その根をつけ加えて得られる数体系も有限体と呼ばれます．
体Ｆ3にｘ^2＋１の形式的な解を考えて，それをαとします．
Ｆ3（α）＝Ｆ3［ｘ］／（ｘ^2＋１）
と定義すると，
Ｆ3（α）＝｛ａ＋ｂα｜ａ，ｂ＝Ｆ3｝
＝｛０，１，−１，α，α＋１，α−１，−α，−α＋１，−α−１｝
です．
ｘ^2＋１＝０のもう一つの解−αがこの体に入っていることから，ｘ^2＋１はこの体で１次式の積に分解されることがわかります．
ｘ^2＋１＝（ｘ−α）（ｘ＋α）
また，Ｆ3には｛０，１，２｝＝｛０，１，−１｝を代入しても０にならない２次式（２次の既約多項式）がさらに２つあります．
ｘ^2＋ｘ＋２＝ｘ^2＋ｘ−１，
ｘ^2＋２ｘ＋２＝ｘ^2−ｘ−１
ｘ^2＋ｘ−１＝０の解は１＋α，１−α，ｘ^2−ｘ−１＝０の解は−１＋α，−１−αであって，Ｆ3にｘ^2＋１＝０の解を添加した体Ｆ3（α）はすべての既約２次方程式の解を含むことになります．もちろん有理数体においてはこのようなことは起こりません．
何が問題なのかを意識していないと肝心なところがわからないので，説明を繰り返しますが，結局，「Ｆp係数の既約方程式ｆ（ｘ）＝０は
Ｆp［ｘ］／ｆ（ｘ）
において根をもつ．」すなわち，Ｆpを係数とする方程式を考え，その根をどんどん新しい数としてつけ加えていくと，ついにはどんな方程式からもそれ以上新しい根がでないような数の体系にたどりつくというわけです．
換言すると，有限体Ｆpを含んでいて，しかもあらゆるＦp係数既約２次方程式が解けるというきわめて有用な有限Ｆpの２次拡大体Ｆp^2を構成したことになります．
なお，ここで用いた既約多項式は
ｆ（ｘ）＝ｘ^2＋１
ですから，この話はｉを添加して実数体（Ｒ：ａ）を複素数体（Ｃ：ａ＋ｂｉ）に拡大した話と完全に並行していることが窺えます．
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【４】拡大体Ｆ2^n
ここでは，Ｆ2係数既約ｎ次方程式がその中に根をもつような有限体Ｆ2^nを構成します．この体は，近年，符号理論・暗号理論などの分野でますます重要な枠割りを果たしています．
まず，素体Ｆ2の２次拡大：Ｆ4＝Ｆ2^2をつくることにしますが，
ｆ（ｘ）＝ｘ^2＋１
は
ｆ（０）＝１，ｆ（１）＝２＝０
より，
ｘ^2＋１＝（ｘ＋１）^2
のように因数分解されます．したがって，既約多項式ではありません．
Ｆ2係数２次方程式のうち，Ｆ2の中に根をもたないものは，
ｘ^2＋ｘ＋１
だけなのです．そこで，
Ｆ2［ｘ］／（ｘ^2＋ｘ＋１）＝｛ａｘ＋ｂ｜ａ，ｂはＦ2の元｝
では，剰余の次数は高々１次で，Ｆ2＝Ｚ／２Ｚの元の集合は｛０，１｝ですから，
｛０，１，ｘ，ｘ＋１｝
の４個の剰余類からなります．
ａｘ＋ｂをａｂとして２進数表示すれば，集合としては
Ｆ4＝Ｆ2^2＝｛００，０１，１０，１１｝＝｛０，１，２，３｝
加算はビットごとのＦ2の加法なので省略して，かけ算だけを示しますが，
ｘ^2＝−ｘ−１＝ｘ＋１ （Ｆ2では−１＝１）
に置き換えると
× ０ １ ２ ３
０ ０ ０ ０ ０
１ ０ １ ２ ３
２ ０ ２ ３ １
３ ０ ３ １ ２
また，素体Ｆ2の３次拡大
Ｆ8＝Ｆ2^3＝｛ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ｜ａ，ｂ，ｃはＦ3の元｝
の原始方程式は
ｘ3＋ｘ＋１＝０
より，
ｘ^3＝−ｘ−１＝ｘ＋１
に置き換えると，例えば，
３×５＝０１１・１０１＝（ｘ＋１）（ｘ^2＋１）＝ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１
＝ｘ＋１＋ｘ^2＋ｘ＋１＝ｘ^2＝１００＝４
× ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７
０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０
１ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７
２ ０ ２ ４ ６ ３ １ ７ ４
３ ０ ３ ６ ５ ７ ４ １ ２
４ ０ ４ ３ ７ ６ ２ ５ １
５ ０ ５ １ ４ ２ ７ ３ ６
６ ０ ６ ７ １ ５ ３ ２ ４
７ ０ ７ ５ ２ １ ６ ４ ３
以上より，Ｆ4もＦ8も体であることが確認されました．
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一般のｎに対するＦ2^nの計算も，原始方程式を見つけることができれば，まったく同様にできます．したがって，問題は原始方程式を見つけることです．任意のｎ次既約多項式はｘ^(p^n)−ｘの約数なのですが，１次因子〜高次因子をすべて求める方法にはこれ以上深入りせず，ｎが比較的小さいときの原始方程式をいくつか掲げておきます．
最高次数の係数が１の多項式をモニックな多項式というのですが，多項式の場合，モニックで既約な多項式が，整数における素数に対応します．ここでは，Ｆ2［ｘ］において，モニックな既約多項式のみを考えます．
１）１次のモニックな既約多項式は，
ｘ，ｘ＋１
の２個．
２）２次のモニックな既約多項式は，
ｘ^2＋ｘ＋１
ただひとつです．
定数項が０のものはｘで割り切れますから，候補はｘ^2＋１とｘ^2＋ｘ＋１の２つしかないのですが，ｘ^2＋１＝（ｘ＋１）^2なので不可．ｘ^2＋ｘ＋１は０，１を代入しても０にならないので，１次因子をもたない．従って既約多項式です．
３）３次のモニックな既約多項式は
ｘ^3＋ｘ＋１，ｘ^3＋ｘ^2＋１
の２個．
ｘ^3＋ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃに０，１を代入すると，ｃ，１＋ａ＋ｂ＋ｃで，これがどちらも０にならないのはａ＋ｂ＋１＝０，ｃ＝１のとき．つまり，
ａ＝１，ｂ＝０，ｃ＝１またはａ＝０，ｂ＝１，ｃ＝１．
４）４次のモニックな既約多項式は
ｘ^4＋ｘ＋１，ｘ^4＋ｘ^3＋１，ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１
の３個．
ｘ^4＋ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄに０，１を代入すると，ｄ，１＋ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄで，これがどちらも０にならないのはａ＋ｂ＋ｃ＋１＝０，ｄ＝１のとき．これは１次因子をもたない条件．
２次の既約多項式はｘ^2＋ｘ＋１だけ．これで割ってみると余りは，（ｂ＋ｃ＋１）ｘ＋ａ＋ｂ＋ｄ．これが０でないのは，ｂ＋ｃ＝０またはａ＋ｂ＋ｄ＝１．合わせればａ＝１，ｂ＝ｃまたはａ＝ｂ，ｃ＝１．よって，
ａ＝１，ｂ＝ｃ＝０とａ＝ｂ＝ｃ＝１とａ＝ｂ＝０，ｃ＝１
５）５次の既約多項式は
ｘ^5＋ｘ^2＋１
など５個．
ｘ^5＋ｘ＋１＝（ｘ^3＋ｘ^2＋１）（ｘ^2＋ｘ＋１）
はＦ2［ｘ］上で既約ではない．
６）６次の既約多項式は
ｘ^6＋ｘ＋１
など９個．
７）７次の既約多項式は
ｘ^7＋ｘ＋１
など１８個．
８）８次の既約多項式は
ｘ^8＋ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋１
など３０個．
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【５】ｐ進数
有限体の話とよく似た例にｐ進数があります．ｐ進数は，有理数から実数とは違う方向に枝分かれした数といってもよい数体系なのですが，たとえば，７進数の世界では
１＋７＋７^2＋７^3＋・・・＝−１／６
２進数では
１＋２＋２^2＋２^3＋・・・＝−１
が正しいのです．正数の総和が負になって、一見して目がくらんでしまいますが，別に冗談をいっているのではありません．
また，有限体の場合と同様，ｐ進数を係数とする方程式を考え，その根をどんどん新しい数としてつけ加えていくと，ついにはどんな方程式からもそれ以上新しい根がでないような数の体系にいきつきます．
有限体とかｐ進数とか，どちらもｐが素数のとき体をなすのですが，われわれの知らない数はまだまだあるのです．
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［補］ブール代数
コンピュータはたくさんのスイッチ（ＯＮ／ＯＦＦ素子）からできているわけですが，
ＯＮ＝１，ＯＦＦ＝０
という２つの元からなる数体系を対応させることができます．
そして，演算規則
＋ ０ １ × ０ １
０ ０ １ ０ ０ ０
１ １ １ １ ０ １
がそれぞれＯＲ回路，ＡＮＤ回路に相当します．
このような演算体系は「ブール代数」と呼ばれます．Ｆ2のときの２を法とした通常の剰余とは，演算規則が１＋１＝１のところで異なっています．
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