■地図と三角法
ちょうど今，地図上の座標（ｘ，ｙ，ｚ）をジオイドと呼ばれる仮想的回転楕円体面上に投影する問題を考えている．この問題では，標高の高い地点の距離は楕円体面上の距離に直されると短くなるので，密に投影されることになる．三角法なので使用する式は難しくはないが，相当複雑になることは避けられないし，予備知識なしに理解できるほど単純な問題ではなさそうである．
ところで，三角法といえば，影の長さから棒の高さを知るのに三角比の表が必要となったことが始まりであることは容易に想像されるだろう．このことに関連して，
エリ・マオール「素晴らしい三角法の世界」青土社
が，実に多くのことを教えてくれた．今回のコラムでは，この本を参考にして，地図測量と三角法に関連する話題を取り上げることにする．
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【１】メルカトール図法
われわれが最も慣れ親しんでいる世界地図は，メルカトールの地図と呼ばれるものである．前回のコラムでは等角写像を取り上げたが，メルカトールの地図も等角写像，すなわち，任意の点から任意の他の点までの正しい方向（方位角）を示す地図であって，海図として航海のナビゲーション用に広く使用されている．また，確かめたわけではないのだが，メルカトールの地図は宇宙衛星の軌道制御にも使われているらしい．
地図はその目的によって，地球上の２点の正確な距離，形（面積），方向を保存するように工夫されているが，地球は丸いので，これらのどれかを保存することは他のものを犠牲にすることになる．
地図投影の中で，もっとも単純なのは円筒を使って平面にする円筒図法であろう．円筒投影では赤道で接触している円筒に対して，地球の中心から投影するもので，円筒が開けられたとき平面地図が得られる．
ｘ＝Ｒλ，ｙ＝Ｒｔａｎφ
円筒図法では経線（子午線）・緯線（卯酉線）は直交するが，緯線間隔は緯度とともに増加し，高緯度での歪みが大きくなる．これはｔａｎφがもたらす結果である．
次に，南極に平面が触れるようにして，北極から投影する図法を考えてみよう．最初から平面を使ったこの投影法を仮に平面投影と呼ぶことにするが，この場合，北緯φの点と南緯φの２つの地点は，単位円に関して反転した点に投影される．
ｙ ＝２Ｒｔａｎ（π／４＋φ／２）
ｙ’＝２Ｒｔａｎ（π／４−φ／２）＝１／ｙ
このことから，平面投影法は方向が保存される正方位図法であることが示される．ただし，正距図法ではないので，地図上で２つの点を結んでいる線分は最短距離（測地線）を表すものではない．
平面投影では，経線は南極から放射する直線として，緯線は同心円として写されることになる．それを受けて，メルカトールが
(1)経線・緯線は直交し，
(2)任意の点から任意の他の点までの正しい方向（方位角）を示す
地図の製作にとりかかったのは，１５６８年のことといわれている．
すなわち，円筒投影と平面投影の両方の特徴を併せもつ地図製作であるが，この計画が実現されるためには，緯線（平行線）の間隔を決めてやる必要がある．メルカトールがどのようにしてこれを計算したかは知られていないため，正確に述べることは非常に難しいが，以下のように推測されている．
地球上の緯線は２πＲｃｏｓφの長さであるが，地図上では２πＲに引き延ばされる．その際の拡張比は
２πＲ／２πＲｃｏｓφ＝ｓｅｃφ
である．そして，写像が等角であるためには，相似条件
Δｙ＝ＲｓｅｃφΔφ
を満たさなければならない．
これを現代的に表記すると，微分方程式：
ｄｙ／ｄφ＝Ｒｓｅｃφ
の解：
ｙ＝Ｒ∫(0,φ)ｓｅｃｔｄｔ＝Ｒｌｎｔａｎ（π／４＋φ／２）
となるが，もちろん，メルカトールの時代は，ニュートンとライプニッツが微積分を発明するよりずっと前のことである．
この解は平面投影のｔａｎ（π／４＋φ／２）を引き継いでいるが，これは偶然の一致ではない．複素関数論によれば，複素関数の写像は等角写像となり，複素対数関数
ｗ＝ｆ（ｚ）＝ｌｎｚ
は同心円と放射線よりなる極座標系を直交座標系に変換してくれるのである．
メルカトールの地図には平面図法の性質が遺伝するので，正距図法とはならない．すなわち，地図上の任意の２つの点を結ぶ線分は測地線ではない．また，ｌｏｇがついている分，高緯度における歪みは円筒図法ほど誇張されにくいと思われるが，それでもグリーンランドは南アメリカより大きく表される（実際は１／９の大きさである）．
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メルカトール図法と円筒図法はどちらも直交座標系であって，表面的には似ているため，しばしば混同される．しかし，これまでの説明から，両者の投影原理は全く異なっていることがおわかり頂けたであろうか？
すなわち，メルカトール図法は解析的・計算的に得られたものであって，幾何的・投影的なものではない．今日でさえ，多くの地理の教科書で誤った記事が掲載されていることはまことに残念なことである．
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【２】レギオモンタヌスの問題
レギオモンタヌスの問題とは「空中に垂直に支えられた棒が，棒の延長線と地面との交点から水平に測って，どの地点で最大に見えるか」という問題である．近すぎる場合，棒はひどくつぶれて見えるだろうし，遠すぎる場合は単に小さく見えることになる．
最大視角を張る地点を求める問題であるから，交点から測った棒の上端をａ，下端をｂ，水平方向の位置をｘとして，三角法を使って解いてみよう．
ｔａｎθ＝ｔａｎ（α−β）
＝（ｔａｎα−ｔａｎβ）／（１＋ｔａｎαｔａｎβ）
＝（ａ／ｘ−ｂ／ｘ）／（１＋ａ／ｘ・ｂ／ｘ）
＝（ａ−ｂ）ｘ／（ａｂ＋ｘ^2）
これを最大にするｘは，微分によりｘ＝√（ａｂ）と計算され，求める点は棒の上部と下部の端点の高さの幾何平均の距離に位置することがわかる．
この解は，幾何学的には方ベキの定理（ＯＡ・ＯＢ＝ＯＰ^2）によっているが，目の高さを考慮すると，この位置は棒の上端と下端を通る円が見ている人の眼の位置に水平に接するときの地点となる．円周角（同じ弧の上の角）を考えてみれば容易に理解できるであろう．
レギオモンタヌスの問題は，ラグビーでトライが決まったときに，どこからゴールを狙えばよいかなど，いろいろな場面で応用できる問題となっている．
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【３】役に立たない三角関数公式集
レギオモンタヌスの問題の証明では，正接の加法公式が用いられているが，正接のｎ倍角公式は，パスカルの三角形を用いて，次のように書くことができる．
ｔａｎｎα＝（nC1ｔａｎα−nC3ｔａｎ^3α＋nC5ｔａｎ^5α−・・・）／（nC0−nC2ｔａｎ^2α＋nC4ｔａｎ^4α−・・・）
分母・分子の係数は，２項係数の符号が対で交代するパスカルの正接三角形
１
１ １
１ ２ −１
１ ３ −３ −１
１ ４ −６ −４ １
１ ５ −１０ −１０ ５ １
の形に並べることができる．ほとんどの教科書から消えてしまったが，美しい公式である．以下に，このような公式を収集してみた．
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［１］三角形，四角形についての公式
任意の三角形に対して
ｔａｎα＋ｔａｎβ＋ｔａｎγ＝ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ
が成り立つ．
この式は
γ＝π−（α＋β）
として，ｔａｎの加法公式を用いることにより容易に証明される．役に立つかどうかは別として，私にとってこの公式は対称性のある美しい公式と感じられる．もちろん，美しく感じるかどうかは主観的であり，強制すべきものではないが，きっと多くの人の美意識にも訴えるに違いない（希望）．
同様に，任意の三角形に対して
ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＋ｓｉｎγ＝４ｃｏｓα／２ｃｏｓβ／２ｃｏｓγ／２
ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋ｓｉｎ２γ＝４ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ
ｓｉｎ３α＋ｓｉｎ３β＋ｓｉｎ３γ＝−４ｃｏｓ３α／２ｃｏｓ３β／２ｃｏｓ３γ／２
ｃｏｓα＋ｃｏｓβ＋ｃｏｓγ＝１＋４ｓｉｎα／２ｓｉｎβ／２ｓｉｎγ／２
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等式の世界も面白いが，不等式の世界だって奥深いものがある．
鋭角三角形ならば，算術平均≧幾何平均より
ｔａｎα＋ｔａｎβ＋ｔａｎγ≧３3√ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ
前項より，
ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ≧３3√ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ
したがって，
ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ≧√２７＝３√３
であるから，
ｔａｎα＋ｔａｎβ＋ｔａｎγ≧３√３ （等号は正三角形のとき）
を容易に証明することができる．
少し気分を変えて，次の不等式はどうだろうか？
（問題）
ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ≦３√３／８
（証明）
２ｓｉｎβｓｉｎγ＝ｃｏｓ（β−γ）−ｃｏｓ（β＋γ）
＝ｃｏｓ（β−γ）＋ｃｏｓα
ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ
＝１／２ｓｉｎα（ｃｏｓ（β−γ）＋ｃｏｓα）
≦１／２ｓｉｎα（１＋ｃｏｓα）
これより極大値を計算すると，３√３／８が得られる．なお，この不等式は三角形の外接円，内接円および面積をＲ，ｒ，△とすれば，
ａｂｃ＝４Ｒ△，（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ＝２△
また，正弦法則
ａ／ｓｉｎα＝ｂ／ｓｉｎβ＝ｃ／ｓｉｎγ＝２Ｒ
より，
ａｂｃ≦３√３Ｒ^3
と同値である．
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（問題）△ＡＢＣ内の１点をＰ，面積を△とすると，
ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ≧２√（（√３）△）
等号は△ＡＢＣが正三角形で，Ｐが重心のときに限る．
（証明）
ｎ角形の周の長さが与えられているとき，面積の最大のものは正ｎ角形であるから，
Ｌ^2≧４ｎＳｔａｎ（π／ｎ）
等号は正ｎ角形に対してのみ成り立つ．
そこで，Ｐの辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢに関する対称点をＡ’，Ｂ’，Ｃ’とし，六角形ＡＣ’ＢＡ’ＣＢ’に不等式
Ｌ^2≧４ｎＳｔａｎ（π／ｎ）
を使えばよい．ここで，Ｌ＝２（ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ），Ｓ＝２△
なお，△≧√（２７）ｒ^2が成り立つので，
ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ≧６ｒ
これは，エルデシュの定理の特別な場合になっていて，シュライバーの定理とも呼ばれる．
一方，四角形については，プトレマイオス（トレミー）の定理「円に内接する四角形の対角線の積は，対辺の積の和に等しい」がある．
ＡＣ・ＢＤ＝ＡＢ・ＣＤ＋ＢＣ・ＤＡ
この定理において，もし四角形が長方形ならば
ＡＣ^2＝ＡＢ^2＋ＢＣ^2
となり，ピタゴラスの定理に帰着する．
また，４点が同一円周上にないとき，不等式
ＡＣ・ＢＤ＜ＡＢ・ＣＤ＋ＢＣ・ＤＡ
が成り立つ．
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［２］正弦・余弦の和公式
等差級数
Ｓ＝１＋２＋３＋・・・＋ｎ
の値を求めるのに，逆順にして
Ｓ＝ｎ＋（ｎ−１）＋（ｎ−２）＋・・・＋１
辺同士を加えると
２Ｓ＝（ｎ＋１）＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋１）＋・・・＋（ｎ＋１）
より，
Ｓ＝ｎ（ｎ＋１）／２
これが等差級数の和公式で，これを使うと，たとえば１から１００まで数の合計が５０５０であることが瞬時に計算できることはご存知であろう．
この取り扱いと似た方法で，正弦の和公式
ｓｉｎα＋ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ３α＋・・・＋ｓｉｎｎα
＝ｓｉｎｎα／２ｓｉｎ（ｎ＋１）α／２／ｓｉｎα／２
を証明してみよう．
（証明）
Ｔ＝ｓｉｎα＋ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ３α＋・・・＋ｓｉｎｎα
Ｔ＝ｓｉｎｎα＋ｓｉｎ（ｎ−１）α＋ｓｉｎ（ｎ−２）α＋・・・＋ｓｉｎα
ここで，和から積への式
ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＝２ｓｉｎ（α＋β）／２ｃｏｓ（α−β）／２
を用いると
２Ｔ＝２ｓｉｎ（ｎ＋１）α／２｛ｃｏｓ（１−ｎ）α／２＋ｃｏｓ（３−ｎ）α／２＋・・・＋ｃｏｓ（ｎ−３）α／２＋ｃｏｓ（ｎ−１）α／２｝
両辺にｓｉｎα／２を掛けて，積から和への公式
ｓｉｎαｃｏｓβ＝１／２｛ｓｉｎ（α＋β）＋ｓｉｎ（α−β）｝
を用いると
２Ｔｓｉｎα／２
＝ｓｉｎ（ｎ＋１）α／２｛ｓｉｎｎα／２＋ｓｉｎ（１−ｎ／２）α＋・・・＋ｓｉｎ（−１＋ｎ／２）α＋ｓｉｎｎα／２｝
＝２ｓｉｎ（ｎ＋１）α／２ｓｉｎｎα／２
同様に，余弦の和公式
ｃｏｓα＋ｃｏｓ２α＋ｃｏｓ３α＋・・・＋ｃｏｓｎα
＝ｓｉｎｎα／２ｃｏｓ（ｎ＋１）α／２／ｓｉｎα／２
も証明できる．これらの式において，α＝π／ｎとおくと
Σｓｉｎｋπ／ｎ＝ｃｏｔπ／２ｎ
Σｃｏｓｋπ／ｎ＝１
さらに，
ｓｉｎα＋ｓｉｎ３α＋ｓｉｎ５α＋・・・＋ｓｉｎ（２ｎ−１）α＝ｓｉｎ^2ｎα／ｓｉｎα
ｃｏｓα＋ｃｏｓ３α＋ｃｏｓ５α＋・・・＋ｃｏｓ（２ｎ−１）α＝ｓｉｎ２ｎα／２ｓｉｎα
α＝π／（２ｎ＋１）とおくと，
Σｃｏｓ（２ｋ−１）π／（２ｎ＋１）＝１／２
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［３］正弦・余弦の積公式
正弦・余弦の和公式はフーリエ級数との関連で研究された歴史がある．一方，和公式ほどよく知られていないが，正弦・余弦の積公式としていろいろな公式が登場してくる．ここでは証明は省いたが，複素数を使って証明するのが一番の近道であろう．
Πｓｉｎｋπ／ｎ＝ｓｉｎπ／ｎ・・・ｓｉｎ（ｎ−１）π／ｎ
＝ｎ／２^(n-1)
Πｓｉｎ（θ＋ｋπ／ｎ）
＝ｓｉｎ（θ＋π／ｎ）・・・ｓｉｎ（θ＋（ｎ−１）π／ｎ）
＝ｓｉｎｎθ／２^(n-1)ｓｉｎθ
ここで，θ→θ−π／２ｎと置き換えれば
Πｓｉｎ（θ＋（２ｋ−１）π／ｎ）＝ｃｏｓｎθ／２^(n-1)
θ＝０とおけば
Πｓｉｎ（（２ｋ−１）π／ｎ）＝１／２^(n-1)
また，θ＝π／２とおけば
Πｃｏｓｋπ／ｎ＝ｓｉｎ（ｎπ／２）／２^(n-1)
などを導き出すことができる．
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［４］漸近挙動の世界（無限的公式）
微積の学び初めに，ｘ→０としたとき，
ｓｉｎｘ／ｘ→１
に出会う．この結果は
（ｓｉｎｘ）’＝ｃｏｓｘ，（ｃｏｓｘ）’＝−ｓｉｎｘ
を示すのに用いられる．
その後，ｓｉｎｘのテイラー展開によって，無限級数
ｓｉｎｘ＝ｘ−ｘ^3／３！＋ｘ^5／５！−ｘ^7／７！＋・・・
ｓｉｎｘ／ｘ＝１−ｘ^2／３！＋ｘ^4／５！−ｘ^6／７！＋・・・
が示される．
それでは，任意のｘに対して，無限積公式
ｓｉｎｘ／ｘ＝ｃｏｓｘ／２ｃｏｓｘ／４ｃｏｓｘ／８・・・
も示しておこう．
（証明）
ｓｉｎｘ＝２ｓｉｎｘ／２ｃｏｓｘ／２
＝４ｓｉｎｘ／４ｃｏｓｘ／４ｃｏｓｘ／２
＝８ｓｉｎｘ／８ｃｏｓｘ／８ｃｏｓｘ／４ｃｏｓｘ／２
・・・・・
＝２^nｓｉｎｘ／２^nｃｏｓｘ／２^n・・・ｃｏｓｘ／２
書き直すと
ｓｉｎｘ＝ｘ［ｓｉｎ（ｘ／２^n）／（ｘ／２^n）］ｃｏｓｘ／２・・・ｃｏｓｘ／２^n
ここで，ｎ→∞のとき，
ｓｉｎ（ｘ／２^n）／（ｘ／２^n）→１
であるから，ｓｉｎｘの無限積表示
ｓｉｎｘ＝ｘΠｃｏｓｘ／２^n
＝ｘ（１−ｘ^2／π^2）（１−ｘ^2／４π^2）（１−ｘ^2／９π^2）・・・
が得られる．この結果は，ｓｉｎｘがｘ＝０，±π，±２π，±３π，・・・のとき，０になることに一致している．
［補］正弦積分とは，
Ｓｉ（ｘ）＝∫(0,t)ｓｉｎｔ／ｔｄｔ
＝ｘ−ｘ^3／３・３！＋ｘ^5／５・５！−・・・
として定義される特殊関数（初等関数によって表し得ない関数）である．また，その特殊値
Ｓｉ（∞）＝∫(0,∞)ｓｉｎｔ／ｔｄｔ＝π／２
は，ディリクレ積分と呼ばれる．
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前項では，ｃｏｓｘの無限積表示
ｃｏｓｘ＝（１−４ｘ^2／π^2）（１−４ｘ^2／９π^2）（１−４ｘ^2／２５π^2）・・・
を用いているが，ｔａｎｘに対しては，部分分数の無限級数表示
ｔａｎｘ＝８ｘ［１／（π^2−４ｘ^2）＋１／（９π^2−４ｘ^2）＋１／（２５π^2−４ｘ^2）＋・・・］
が成り立つ．
ｘ＝π／４とすると，
１＝４／π（１−１／３＋１／５−１／７＋・・・）
であるから，グレゴリー・ライプニッツ級数
π／４＝１−１／３＋１／５−１／７＋・・・
が導かれる．
グレゴリー・ライプニッツ級数はπを含んでいる無限級数として最初のものなのだが，オリジナルは
ａｒｃｔａｎｘ＝ｘ−ｘ^3／３＋ｘ^5／５−ｘ^7／７＋・・・
から発見されたものである．
また，ｘ→０としたときのｔａｎｘ／ｘの漸近挙動から，
π^2／８＝１／１^2＋１／３^2＋１／５^2＋・・・
さらに，
Ｓ＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋・・・
＝１／１^2＋１／３^2＋１／５^2＋・・・＋１／２^2＋１／４^2＋１／６^2
＝１／１^2＋１／３^2＋１／５^2＋・・・＋１／４［１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋・・・］
＝π^2／８＋Ｓ／４
したがって，
Ｓ＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＝π^2／６
となるが，これはオイラーにより発見された有名な級数である．
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［５］無限級数とフーリエ展開
テイラー展開（ベキ級数展開）は連続な関数にしか適用できないが，フーリエ展開（三角級数展開）はたとえ不連続な関数でも存在するため，１９世紀の解析学に大きな貢献をしるした．
−π＜ｘ＜πの周期関数と見なされる不連続関数ｆ（ｘ）＝ｘのフーリエ展開は
ｆ（ｘ）＝２［ｓｉｎｘ／１−ｓｉｎ２ｘ／２＋ｓｉｎ３ｘ／３−・・・］
ｘ＝π／２とおくと，
π／４＝１−１／３＋１／５−１／７＋−・・・（グレゴリー・ライプニッツ級数）
また，ｘ＝π／４とおくと
π√２／４＝１＋１／３−１／５−１／７＋＋・・・
この式で，符号は２項毎に交代する．
同様に，−π＜ｘ＜πの周期関数と見なすと，ｆ（ｘ）＝ｘ^2のフーリエ展開は
ｆ（ｘ）＝π^2／３−４［ｃｏｓｘ／１^2−ｃｏｓ２ｘ／２^2＋ｃｏｓ３ｘ／３^2−・・・］
ｘ＝πとおくと，
π^2／６＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋・・・（オイラー級数）
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［６］虚の三角法
オイラーの公式（１７４８年）
ｅｘｐ（ｉθ）＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ
ド・モアブルの定理（１７２２年）
（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）^n＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ
などは虚（あるいは複素数）の三角法の公式と捉えることがができるであろう．
複素数の世界では，ｚ＝ｘ＋ｉｙとしたとき，
ｓｉｎｚ＝ｓｉｎｘｃｏｓｈｙ＋ｉｃｏｓｘｓｉｎｈｙ
ｃｏｓｚ＝ｃｏｓｘｃｏｓｈｙ−ｉｓｉｎｘｓｉｎｈｙ
ｅｘｐｚ＝ｅｘｐ（ｘ）ｃｏｓｙ＋ｉｅｘｐ（ｘ）ｓｉｎｙ
などのように書くことができる．
ｓｉｎｚ，ｃｏｓｚが周期２πをもつこと
ｓｉｎ（ｚ＋２π）＝ｓｉｎｚ
は複素数の世界でも同じであるが，一方，ｅｘｐｚは虚の周期２πｉをもつ．
ｅｘｐ（ｚ＋２πｉ）＝ｅｘｐｚ
複素関数は等角写像になるのであるが，前述のごとく，複素関数ｌｎｚも等角写像となる．このことから，メルカトール図法を極座標から直交座標上に等角変換できるのである．
なお，平面正弦定理では，
ｓｉｎα：ｓｉｎβ：ｓｉｎγ＝ａ／Ｒ：ｂ／Ｒ：ｃ／Ｒ
であるが，球面正弦定理は
ｓｉｎα：ｓｉｎβ：ｓｉｎγ＝ｓｉｎ（ａ／Ｒ）：ｓｉｎ（ｂ／Ｒ）：ｓｉｎ（ｃ／Ｒ）
で表される．
それに対して，双曲的三角法では，球面正弦定理のＲをｉＲに置き換えることによって，
ｓｉｎα：ｓｉｎβ：ｓｉｎγ＝ｓｉｎｈ（ａ／Ｒ）：ｓｉｎｈ（ｂ／Ｒ）：ｓｉｎｈ（ｃ／Ｒ）
が得られる．
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［７］エピサイクロイドとヒポサイクロイド
いま，５歳の娘は歯車の穴に鉛筆を差し込んで回転させると花びら模様が描かれるおもちゃに夢中である．これをスパイログラフというらしい．この装置がヒポサイクロイドの応用であることはすぐに理解される．固定円と回転円の半径比Ｒ／ｒが無理数なら曲線は決して閉じないから，有理数倍になっているのであろう．
ヒポサイクロイドで，Ｒ／ｒ＝４の場合がアステロイドである．
ｘ^2/3＋ｙ2/3＝Ｒ^2/3
アステロイドはｘ，ｙ軸上に端点のある長さＲの線分により作られる包絡線であり，また，長半径と短半径の和がＲである楕円
ｘ^2／ａ^2＋ｙ^2／（Ｒ−ａ）^2＝１
の包絡線ともなっている．
アステロイドが囲む周長は６Ｒであるが，サイクロイドと同様，定数πに依存していない．また，面積は３πＲ^2／８で，固定円の面積の３／８（回転円の６倍）である．
一方，エピサイクロイドは地球から見たときの惑星の逆行運動の説明に用いられた曲線で，古代ギリシア人は，惑星の動きを表現するために周転円（円の周りをまわる円）を考えていたことが知られている．
エピサイクロイドで，Ｒ／ｒ＝１の場合がカージオイドである．カージオイドは定円上に中心があり，カスプを通るような円の包絡線でもある（周長１６Ｒ，面積６πＲ^2）．
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