ｎ次元空間の正多胞体とは「ｎ個の超平面に囲まれ，全体の中心ｏnから各頂点ｏ0，各辺の中点ｏ1，各面の中心ｏ2，・・・，各超辺の中心ｏn-2，各超平面の中心ｏn-1までの距離がそれぞれ相等しく，そのｍ次元成分はすべてｍ次元の正多胞体である」と定義されます．
また，ｏnｏn-1・・・ｏ1ｏ0を結んだｎ次元単体を基本単体と呼びます．ｏ0ｏ1，ｏ1ｏ2，・・・，ｏn-1ｏnは互いに直交するので，ｎ次元正多胞体の諸量を計算するための基本となっています．
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【１】正多胞体の基本単体
基本単体は重直角三角錐の拡張となる「多重直角単体」です．基本単体の個数ｇは正多胞体にとって最も大切な基本量です．基本単体は隣同士が鏡像形であり，半分ずつが互いに合同であることより，３次元正多面体の基本単体の個数は
ｇ＝２ｐｆ＝２ｑｖ＝４ｅ
すなわち，正多面体の辺の個数ｅの４倍と等しくなります．
また，（ｎ＋１）次元空間内の正多胞体はｎ次元球面上に射影することによって球面充填形になるのですが，そのような方法によって，３次元正多面体の基本単体の個数を（ｐ，ｑ）を用いて表すと
ｇ＝４π／π（１／ｐ＋１／ｑ−１／２）＝８ｐｑ／｛４−（ｐ−２）（ｑ−２）｝
さらに，
ｇ／ｈ＝（ｈ＋２）＝２４／（１０−ｐ−ｑ）
なる関係を掲げますが，ここでｈはペトリー数と呼ばれるもので，反転が何回でもとに戻るかという群論（鏡像変換）に関係した基本量です．４次元正多胞体の場合は
ｇ／ｈ＝６４／（１２−ｐ−２ｑ−ｒ＋４／ｐ＋ｑ／４）
で表されます．
基本単体は万華鏡のように隣同士が互いに鏡像形で，半分ずつが互いに合同です．そして，｛ｏ0ｏ1・・・ｏn-2｝上ｏn-1，ｏnのなす角
∠ｏn-1ｏn-2ｏn＝π／ｐn-1
は超平面同士が超辺上でなす二面角δの半分です（注：二胞角というべきですが３次元の場合の用語を転用します）．
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【２】ｎ次元の立方体の基本単体
ｎ次元の立方体の基本単体数ｇは
ｇ＝２^n・ｎ！
となりますが，辺の長さはどうなるのだろうか？
ｎ次元立方体の頂点を（±１，±１，・・・，±１）とおくと，この超立方体の稜の長さは２である．面心の座標は
（±１，０，・・・，０）
（０，±１，・・・，０）
・・・・・・・・・・・・
（０，０，・・・，±１）
で，
ｏn-1（１，０，・・・，０）
を代表とすることができる．一方，体心ｏnの座標は
ｏn（０，０，・・・，０）
であるから，ｏn-1ｏn＝１
同様に
ｏn-2（１，１，０，・・・０，０）
・・・・・・・・・・・・・・・・
ｏ1（１，１，１，・・・１，０）
ｏ0（１，１，１，・・・１，１）
であるから，
ｏ0ｏ1＝１，ｏ1ｏ2＝１，・・・，ｏn-1ｏn＝１
ｏ0ｏn＝√ｎ，ｏ1ｏn＝√（ｎ−１），・・・，ｏn-1ｏn＝１
などとなる．
稜数は（ｎ＋１）ｎ／２であるから，残りも求めてみると
ｏ0ｏ0＝０，ｏ1ｏ0＝１，ｏ2ｏ0＝√２，・・・，ｏnｏ0＝√ｎ
ｏ0ｏ1＝１，ｏ1ｏ1＝０，ｏ2ｏ1＝１，・・・，ｏnｏ1＝√（ｎ−１）
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ｏ0ｏn-1＝√（ｎ−１），ｏ1ｏn-1＝√（ｎ−２），ｏ2ｏn-1＝√（ｎ−３），・・・，ｏnｏn-1＝１
ｏ0ｏn＝√ｎ，ｏ1ｏn＝√（ｎ−１），ｏ2ｏn＝√（ｎ−２），・・・，ｏnｏn＝０
より，辺の長さはすべて１，√２，・・・，√ｎである．
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【３】ｎ次元の立方体の基本単体の分割
立方体［０，１］^nに対して，
ｏn（０，０，０，・・・０，０）
ｏ0（１，１，１，・・・１，１）
を結ぶ対角線の中点
（１／２，１／２，１／２，・・・，１／２，１／２）
を通る超平面
ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋・・・＋ｘn＝ｎ／２
と各辺の交点を求めてみることにします．
計算の都合上，ｐk＝ｏn-kとおきます．
ｐ0（０，０，・・・，０）
ｐ1（１，０，・・・，０）
ｐ2（１，１，０，・・・０，０）
・・・・・・・・・・・・・・・・
ｐn-1（１，１，１，・・・１，０）
ｐn（１，１，１，・・・１，１）
ですから，直線ｐ0ｐnは
ｘ1＝ｘ2＝・・・＝ｘn
で表されます．したがって，ｐ0ｐnとの交点は
（１／２，１／２，１／２，・・・，１／２，１／２）
直線ｐ1ｐnは，
ｘ1＝１，ｘ2＝・・・＝ｘn
したがって，ｐ1ｐnとの交点は（１，（ｎ−２）／２（ｎ−１），・・・，（ｎ−２）／２（ｎ−１））
直線ｐ2ｐnは，
ｘ1＝ｘ2＝１，ｘ3＝・・・＝ｘn
したがって，ｐ2ｐnとの交点は（１，１，（ｎ−４）／２（ｎ−２），・・・，（ｎ−４）／２（ｎ−２））
ｎ＝３の場合は（ｎ−４）／２（ｎ−２）＜０となって交わらないことがわかります．ｎ＝４の場合は（１，１，０，０）となってｐ2と一致します．
直線ｐ3ｐnは，
ｘ1＝ｘ2＝ｘ3＝１，ｘ4＝・・・＝ｘn
したがって，ｐ2ｐnとの交点は（１，１，１，（ｎ−６）／２（ｎ−３），・・・，（ｎ−６）／２（ｎ−３））
ｎ＝４の場合は（ｎ−６）／２（ｎ−３）＜０となって交わりません．
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次にｐ0を通る直線の場合を調べてみます．直線ｐ0ｐ1は
ｘ2＝・・・＝ｘn＝０
ですから，ｘ1＝ｎ／２となって，ｎ＞２のとき交わらないことがわかります．
直線ｐ0ｐ2は
ｘ1＝ｘ2，ｘ3＝・・・＝ｘn＝０
ですから，ｘ1＝ｘ2＝ｎ／４となって，ｎ≦４のときのみ交わります．ｎ＝４のとき交点は（１，１，０，０）となって，ｐ2と一致します．
直線ｐ0ｐ3は
ｘ1＝ｘ2＝ｘ3，ｘ4＝・・・＝ｘn＝０
ですから，ｘ1＝ｘ2＝ｘ3＝ｎ／６となって，ｎ≦６のときのみ交わります．ｎ＝４のとき交点は（２／３，２／３，２／３，０）となります．
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次にｐ1を通る直線の場合を調べてみます．直線ｐ1ｐ2は
ｘ1＝１，ｘ3＝・・・＝ｘn＝０
ですからｘ2＝（ｎ−２）／２．したがって，交点は
（１，（ｎ−２）／２，０，・・・，０）
となります．２≦ｎ≦４のときのみ交わり，ｎ＝４のときｐ2と一致します．
直線ｐ1ｐ3は
ｘ1＝１，ｘ4＝・・・＝ｘn＝０
ですから，ｘ2＝ｘ3＝（ｎ−２）／４．交点は
（１，（ｎ−２）／４，（ｎ−２）／４，０，・・・，０）
となって，２≦ｎ≦６のときのみ交わります．ｎ＝４のとき交点は（１，１／２，１／２，０）となります．
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ｐ2を通る直線ｐ2ｐ3では
ｘ1＝ｘ2＝１，ｘ4＝・・・＝ｘn＝０
ですからｘ3＝（ｎ−４）／２．したがって，交点は
（１，１，（ｎ−４）／２，０，・・・，０）
となります．４≦ｎ≦６のときのみ交わり，ｎ＝４のときｐ2と一致します．
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【４】平行多面体の元素の形
ペンタドロンを使えば５種類ある平行多面体をすべて作ることができる．ペンタドロンをσで表すことにするが，立方体はσ12（σ96），６角柱はσ144，菱形１２面体はσ192，長菱形１２面体はσ384，切頂８面体はσ48という分子構造になっている．ここで，立方体，菱形１２面体，切頂８面体は直で等辺であるが，６角柱と長菱形１２面体はskewした平行多面体となる．
ペンタドロンの空間座標は，基本単体の頂点
ｐ0（０，０，０）
ｐ1（１，０，０）
と４交点
（１／２，１／２，１／２）
（１，１／４，１／４）
（１，１／２，０）
（３／４，３／４，０）
である．
それでは，４次元平行多面体の元素は（実際にそのような充填形は存在すると思われるのだが）どのような形になっているのだろうか？ 基本単体の頂点
ｐ0（０，０，０，０）
ｐ1（１，０，０，０）
ｐ2（１，１，０，０）
ｐ3（１，１，１，０）
ｐ4（１，１，１，１）
と前節で求めた４交点
（１／２，１／２，１／２，１／２）
（１，１／３，１／３，１／３）
（２／３，２／３，２／３，０）
（１，１／２，１／２，０）
はすでにわかっている．また，４次元の立方体の基本単体の稜数は１０であるから，これ以外に交点ははない．
したがって，ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4≦２の部分をとると，７頂点
ｑ0（０，０，０，０）
ｑ1（１，０，０，０）
ｑ2（１，１，０，０）
ｑ3（１／２，１／２，１／２，１／２）
ｑ4（１，１／３，１／３，１／３）
ｑ5（２／３，２／３，２／３，０）
ｑ6（１，１／２，１／２，０）
が元素の頂点となる．ｑ2〜ｑ6は超平面ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＝２上にある．これが７６８個で４次元立方体を組み立てることができる．
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【５】雑感
４次元の図形は直接眼に見えないので正体不明な点が多いのであるが，２次元，３次元からのアナロジーで補完してみたいと思う．２次元平行多面体の元素は直角三角形である．３次元平行多面体の元素は５面体である．しかし，これからは予測困難である．そこで，元素２個からなる分子を考えると，２次元では凧型４辺形，３次元では凧型面をもつ６面体となる．
このことから，ｎ次元では凧型面をもつ２ｎ胞体の２頂点を北極と南極に配置して子午線で２分割した形，すなわち，偶数次元では
２ｎ／２＋１＝ｎ＋１胞体 （単体）
奇数次元では
（２ｎ−２）／２＋２＋１＝ｎ＋２胞体
になるのではないかとでも予測したくなるが，これもあてずっぽうである．これで辻褄はあっているのだが，はたして４次元平行多面体の元素は凧型面をもつ８胞体を２等分した５胞体だろうか？ （その３で予想が外れることを示す）
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