（その７）では正２ｎ角形の菱形分割を紹介しました．今回のコラムではｎ次元立方体の極投影について紹介します．極投影では面の形は菱形に投影されるのですが，ｎ次元立方体全体の形はｎ＝３のとき正六角形，ｎ＝４のとき正方形，ｎ＝５のとき正十角形，ｎ＝６のとき正六角形になりますから，両者の趣きは異なります．まずは菱形分割のおさらいから．
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【１】正２ｎ角形の菱形分割
ｎ次元立方体［−１，１］^nを（１，１，１，・・・，１）方向の２次元平面に直投影すると，半径√ｎの円に内接する正２ｎ角形となります．このとき，正２ｎ角形は（ｎ，２）＝ｎ（ｎ−１）／２種類の菱形で満たされることになります．これは３次元空間への投影ですが，４次元空間への投影では（ｎ，３）種類の平行六面体で満たされることになります．
また，正２ｎ角形は何種類かの菱形（正方形を含む）に分割することができます．たとえば，正方形は１種類の正方形，正六角形は１種類の菱形，正八角形は１種類の菱形と正方形，正十角形は２種類の菱形，正十二角形は２種類の菱形と正方形に分割することができます．
その個数は（ｉπ／ｎ）＜π／２ （ｉは整数）となるｎ個の菱形とさらにｎが偶数のときにはｎ／２個の正方形になります．たとえば，正十二角形の場合はπ／６菱形６個（幅の狭いもの），π／３菱形６個（中くらいの幅のもの），正方形３個に分解可能です．正十二角形の菱形分割の仕方は２通り以上ありますが，いずれのときでも菱形３種類をそれぞれ細めの菱形６個，太めの菱形６個，正方形３個を使います．
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【２】ｎ次元立方体の極投影
（−１，−１，−１，・・・，−１）を始点として，各頂点からｎ本の稜がでるｎ本の傘の骨状のベクトル
ｘ＝（ａｃｏｓ２ｉπ／ｎ，ａｓｉｎ２ｉπ／ｎ，ｂ）
ａ＝√（２／３），ｂ＝√（１／３）
を用いて３次元空間に極投影することにします．ｎ種類の菱形面ができますが，菱形面の角の大きさθは
ｘ＝（ａｃｏｓ２ｉπ／ｎ，ａｓｉｎ２ｉπ／ｎ，ｂ），｜ｘ｜＝１
ｙ＝（ａｃｏｓ２ｊπ／ｎ，ａｓｉｎ２ｊπ／ｎ，ｂ），｜ｙ｜＝１
ｘ・ｙ＝２／３ｃｏｓ２（ｉ−ｊ）π／ｎ＋１／３
＝２／３ｃｏｓ２ｋπ／ｎ＋１／３＝１−２・２／３・ｓｉｎ^2ｋπ／ｎ
より，
ｃｏｓθ＝２／３ｃｏｓ２ｋπ／ｎ＋１／３＝１−２・２／３・ｓｉｎ^2ｋπ／ｎ
θ＝ａｒｃｃｏｓ（２／３ｃｏｓ２ｋπ／ｎ＋１／３）
＝２ａｒｃｓｉｎ（ｃ・ｓｉｎｋπ／ｎ）
ｃ＝√（２／３），ｋ＝１〜ｎ−１
また，実際の菱形面の対角線の長さの比ｒは
ｒ＝ｃｏｓ（θ／２）／ｓｉｎ（θ／２）
で与えられます．
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【３】計算結果
ｎ ｋ ｒ
3 1 1
3 2 .999998
4 1 1.41421
4 2 .707107
4 3 1.41421
5 1 1.82802
5 2 .811394
5 3 .811392
5 4 1.82801
6 1 2.23607
6 2 1
6 3 .707107
6 4 .999998
6 5 2.23606
7 1 2.63968
7 2 1.2058
7 3 .760357
7 4 .760356
7 5 1.20579
7 6 2.63967
8 1 3.04017
8 2 1.41421
8 3 .870265
8 4 .707107
8 5 .870263
8 6 1.41421
8 7 3.04015
9 1 3.43845
9 2 1.62186
9 3 1
9 4 .739349
9 5 .739348
9 6 .999998
9 7 1.62185
9 8 3.43843
10 1 3.83513
10 2 1.82802
10 3 1.13657
10 4 .811394
10 5 .707107
10 6 .811392
10 7 1.13657
10 8 1.82801
10 9 3.8351
11 1 4.23061
11 2 2.0327
11 3 1.27524
11 4 .901578
11 5 .728703
11 6 .728703
11 7 .901576
11 8 1.27524
11 9 2.03269
11 10 4.23058
12 1 4.62519
12 2 2.23607
12 3 1.41421
12 4 1
12 5 .779549
12 6 .707107
12 7 .779547
12 8 .999998
12 9 1.41421
12 10 2.23606
12 11 4.62514
13 1 5.01905
13 2 2.43834
13 3 1.5528
13 4 1.10212
13 5 .846018
13 6 .722575
13 7 .722575
13 8 .846016
13 9 1.10212
13 10 1.55279
13 11 2.43832
13 12 5.01899
14 1 5.41235
14 2 2.63968
14 3 1.69075
14 4 1.2058
14 5 .9208
14 6 .760357
14 7 .707107
14 8 .760356
14 9 .920798
14 10 1.20579
14 11 1.69074
14 12 2.63967
14 13 5.41229
15 1 5.8052
15 2 2.84025
15 3 1.82802
15 4 1.31
15 5 1
15 6 .811394
15 7 .718728
15 8 .718728
15 9 .811392
15 10 .999998
15 11 1.30999
15 12 1.82801
15 13 2.84023
15 14 5.80513
16 1 6.19768
16 2 3.04017
16 3 1.96462
16 4 1.41421
16 5 1.08152
16 6 .870265
16 7 .747897
16 8 .707107
16 9 .747896
16 10 .870263
16 11 1.08152
16 12 1.41421
16 13 1.96462
16 14 3.04015
16 15 6.1976
ｎ＝３，ｎ＝４のときはそれぞれ正方形，白銀菱形になったのですが，ｎ＝５のとき，菱形面の対角線の長さの比ｒがτにならないようです．また，ｎが偶数のとき白銀菱形，３の倍数のとき正方形が出現していることがわかります．
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【４】計算結果（スケール変換後）
ｎ＝３，ｎ＝４のときはそれぞれ正方形，白銀菱形になったのですが，ｎ＝５のとき，菱形面の対角線の長さの比ｒがτにならなかったので，以下のようにスケール変換してみます．
ｘ＝（ａｃｏｓ２ｉπ／ｎ，ａｓｉｎ２ｉπ／ｎ，ｂ）
ａ＝√（２／ｎ），ｂ＝√（１／ｎ）
ｎ ｋ ｒ
3 1 1
3 2 1
4 1 1.291
4 2 .774599
4 3 1.29099
5 1 1.39888
5 2 .883169
5 3 .883168
5 4 1.39888
6 1 1.41421
6 2 1
6 3 .845156
6 4 1
6 5 1.41421
7 1 1.39481
7 2 1.08269
7 3 .891308
7 4 .891308
7 5 1.08269
7 6 1.39481
8 1 1.36544
8 2 1.13389
8 3 .9495
8 4 .881919
8 5 .949499
8 6 1.13389
8 7 1.36543
9 1 1.33528
9 2 1.1628
9 3 1
9 4 .906631
9 5 .906631
9 6 1
9 7 1.1628
9 8 1.33528
10 1 1.3074
10 2 1.17732
10 3 1.03896
10 4 .939996
10 5 .904536
10 6 .939996
10 7 1.03895
10 8 1.17732
10 9 1.3074
11 1 1.28259
11 2 1.18294
11 3 1.06729
11 4 .972232
11 5 .919673
11 6 .919673
11 7 .972231
11 8 1.06729
11 9 1.18294
11 10 1.28259
12 1 1.26078
12 2 1.18322
12 3 1.08711
12 4 1
12 5 .94075
12 6 .919869
12 7 .94075
12 8 1
12 9 1.08711
12 10 1.18322
12 11 1.26078
13 1 1.24168
13 2 1.18036
13 3 1.10049
13 4 1.02262
13 5 .962474
13 6 .929994
13 7 .929994
13 8 .962473
13 9 1.02262
13 10 1.10049
13 11 1.18036
13 12 1.24168
14 1 1.22492
14 2 1.17574
14 3 1.10914
14 4 1.04046
14 5 .982514
14 6 .944272
14 7 .930952
14 8 .944271
14 9 .982514
14 10 1.04046
14 11 1.10914
14 12 1.17574
14 13 1.22492
15 1 1.21016
15 2 1.17019
15 3 1.11437
15 4 1.0542
15 5 1
15 6 .959615
15 7 .938158
15 8 .938158
15 9 .959615
15 10 1
15 11 1.0542
15 12 1.11437
15 13 1.17019
15 14 1.21016
16 1 1.1971
16 2 1.16422
16 3 1.11716
16 4 1.06458
16 5 1.01477
16 6 .974441
16 7 .94835
16 8 .939339
16 9 .948349
16 10 .974441
16 11 1.01477
16 12 1.06458
16 13 1.11716
16 14 1.16422
16 15 1.1971
このスケール変換
ｘ＝（ａｃｏｓ２ｉπ／ｎ，ａｓｉｎ２ｉπ／ｎ，ｂ）
ａ＝√（２／ｎ），ｂ＝√（１／ｎ）
では黄金菱形にならなかったのですが，適切なスケール変換を施せば黄金菱形にすることは可能であることがわかります．
また，ｎが偶数のとき白銀菱形は出現しなくなりましたが，３の倍数のとき正方形は出現することに変わりはありません．
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【補】超平面
原点を中心とするｎ次元超立方体[-1/2,1/2]^nと原点を通る任意のｎ次元超平面：Ｈ（ａ）
ａ1ｘ1＋ａ2ｘ2＋・・・＋ａnｘn＝０
の交わり（切り口の体積）について考えてみましょう．
その前に，まず，ａを行ベクトル，ｘを列ベクトルとして
ａ＝（ａ1，・・・，ａn）
ｘ’＝（ｘ1，・・・，ｘn）
また，実数をｃとおくと，ｎ次元ユークリッド空間の超平面は，
ａｘ’＝ｃ
で表すことができます．原点を通るときｃ＝０で，その場合，原点を中心とするｎ次元超立方体と超平面ａｘ’＝０は必ず交わります．
ベクトルａを超平面の法線ベクトルと呼びます．法線ベクトルはスカラー倍を除いて一意に定まります．ａをその長さ‖ａ‖で割ったベクトルａ／‖ａ‖を考えると，これは長さ１の単位法線ベクトルとなります．
また，ａが単位法線ベクトル，すなわち，
ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2＝１
が成り立つとき，ｃは原点から超平面へ引いた垂線の（符号のついた）長さとなります．
ｎ＝１なら方程式はａｘ＝ｂですから，超平面は点にほかなりません．ｎ＝２ならａｘ＋ｂｙ＝ｃとなり，超平面は直線，ｎ＝３ならａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝ｄですから，超平面は平面を表します．３次元空間内の超平面が普通の平面だし，２次元空間内の超平面は直線ですから，ｎ次元空間の場合，ｎ−１次元の線形多様体を超平面というのです．
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