ｎ次元立方体が正２ｎ角形となるような方向に投影します．また，正２ｎ角形は何種類かの菱形（正方形を含む）に分割することができます．たとえば，正方形は１種類の正方形，正六角形は１種類の菱形，正八角形は１種類の菱形と正方形，正十角形は２種類の菱形，正十二角形は２種類の菱形と正方形に分割することができます．
（その７）での問題点は，
１）菱形９０面体は２種類の菱形（白銀菱形，黄金２乗菱形）からなる．しかるに，１０次元立方体を投影すると正２０角形になり，π／１０菱形１０個，π／５菱形１０個，３π／１０菱形１０個，２π／５菱形１０個，正方形５個の５種類に分解可能であること
２）菱形１３２面体は３種類の菱形（細い菱形４８枚，中間型３６枚，太った菱形４８枚）からなる．しかるに，１２次元立方体を投影すると正２４角形になり，π／１２菱形１２個，π／６菱形１２個，π／４菱形１２個，π／３菱形１２個，５π／１２菱形１２個，正方形６個の６種類に分解可能であることで，菱形の数の整合性がとれないという点でした．
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【１】菱形多面体の必要条件
合同な菱形だけでできている菱形多面体では，最大１頂点に５つの角が集まることが可能でしたが，２種類以上の菱形でできている菱形多面体では，頂点に６つ以上の角が集まることも可能になります．
まず，２種類の菱形（ａ1＋ｏ1＝π，ａ2＋ｏ2＝π）でできる菱形多面体について考えてみましょう．菱形の鋭角と鈍角の和は１８０°ですから，
ａ1＜ａ2＜π／２＜ｏ2＜ｏ1
としても一般性を失いません．頂点に４つ以上の鈍角が集まることは不可能です．頂点に集まる角がすべて鈍角である場合について場合分けしてみると，
ｏ1^3 → ｏ1＜１２０°のとき可能
ｏ1^2ｏ2 → ｏ1＜１３５°のとき可能
ｏ1ｏ2^2 → 可能
ｏ2^3 → 可能
すなわち，合同な菱形だけでできている菱形多面体では菱形の鈍角が１２０°，２種類の菱形でできている菱形多面体では１３５°より小さいことが必要になります．
そこで，試しに
４５°＜ａ1＜６０°＜ａ2＜９０°＜ｏ2＜１２０°＜ｏ1＜１３５°
とおいてみます．ｏ2＝１２０°（ａ2＝６０°）の菱形では平面充填形となってしまいますから，ｏ2＜１２０°を有する菱形多面体の面は，正三角形を２個つなげた菱形（対角線の長さの比が１：√３）よりも太っていることが必要で，黄金比（ａ2＝６３．４３５°）や１：√２（ａ2＝７０．５２８８°）の菱形などがその候補となるというわけです．また，白銀２乗菱形はａ1＝５３．１３０１°ですが，黄金２乗菱形の頂角は４１．８１０３°ですから，候補から外れてしまいます．
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鋭角が６０°より大きい菱形が頂点に集まる角がすべて鋭角である場合は最大１頂点に５枚ですから，４枚または５枚ということになります（ａ2^5，ａ2^4）．また，鋭角が４５°より大きい菱形が頂点に集まる角がすべて鋭角である場合は最大１頂点に７枚ですから，５枚，６枚または７枚ということになります（ａ1^7，ａ1^6，ａ1^5）．このように，６つ以上の角が集まることも可能になります．
正則な多面体とはその面が正多角形で，どの面にも同じ数の面が集まっている凸多面体のことで，正多面体では
ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅ
でしたが，正則とは限らない一般の多面体では
Σｐi＝ｐ1＋・・・＋ｐf＝２ｅ，
Σｑi＝ｑ1＋・・・＋ｑv＝２ｅ
となります．
可能な場合を求めてみると
［１］ｑ＝３
ｏ2ｏ1^2，ｏ2^2ｏ1，ｏ2^3，
ａ2ｏ1^2，ａ2ｏ2ｏ1，ａ2ｏ2^2，ａ2^2ｏ1，ａ2^2ｏ2，
ａ1ｏ1^2，ａ1ｏ2ｏ1，ａ1ｏ2^2，ａ1ａ2ｏ1，ａ1ａ2ｏ2，ａ1^2ｏ1
［２］ｑ＝４
ａ2ｏ2^3，ａ2^2ｏ2ｏ1，ａ2^2ｏ2^2，ａ2^3ｏ1，ａ2^3ｏ2，ａ2^4，
ａ1ｏ2^2ｏ1，ａ1ｏ2^3，ａ1ａ2ｏ1^2，ａ1ａ2ｏ2ｏ1，ａ1ａ2ｏ2^2，ａ1ａ2^2ｏ1，ａ1ａ2^2ｏ2，ａ1ａ2^3，ａ1^2ｏ1^2，ａ1^2ｏ2ｏ1，ａ1^2ｏ2^2，ａ1^2ａ2ｏ1，ａ1^2ａ2^2，ａ1^3ｏ1，ａ1^3ｏ2，ａ1^3ａ2，
［３］ｑ＝５
ａ2^4ｏ2，ａ2^5，
ａ1ａ2^2ｏ2^2，ａ1ａ2^3ｏ1，ａ1ａ2^3ｏ2，ａ1ａ2^4，ａ1^2ａ2ｏ2^2，ａ1^2ａ2^2ｏ1，ａ1^2ａ2^2ｏ2，ａ1^2ａ2^3，ａ1^3ｏ2ｏ1，ａ1^3ｏ2^2，ａ1^3ａ2ｏ1，ａ1^3ａ2ｏ2，ａ1^3ａ2^2，ａ1^4ｏ1，ａ1^4ｏ2，ａ1^4ａ2，ａ1^5
［４］ｑ＝６
ａ1ａ2^5，ａ1^2ａ2^4，ａ1^3ａ2^2ｏ2，ａ1^3ａ2^3，ａ1^4ａ2ｏ2，ａ1^4ａ2^2，ａ1^5ｏ1，ａ1^5ｏ2，ａ1^5ａ2，ａ1^6
［５］ｑ＝７
ａ1^5ａ2^2，ａ1^6ａ2，ａ1^7
となってまだまだ絞りきれません．
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【２】雑感
これでは何の手がかりも得られていないことと同じことです．３種類以上の菱形でできている菱形多面体の場合はもっと複雑になりますから，ひょっとすると菱形多面体（ロンボイド）に対する考察は泥沼化してしまったのかもしれません．
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