正２４胞体を，超立方体の上に「立方体錐」を重ねた形８個に分けたものではうまくＲＰで被覆できそうもありません．中央が正八面体なら４次元の正１６胞体ですが，３次元の立方体ですからＲＰのみでは組み立てられません．この構成法は対称性に欠ける少しひねった構成法といえるでしょう．

　今回のコラムでは，一松信先生がオーソドックスな正２４胞体の構成をしてくれたので紹介します．

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【１】直角５胞体（right penta）と正８胞体・正１６胞体

　４次元直角５胞体の各頂点の座標を

　　（０，０，０，０）

　　（１，０，０，０）

　　（０，１，０，０）

　　（０，０，１，０）

　　（０，０，０，１）

とおき，ＲＰ（right penta）と呼ぶことにする．また，互いに直角に交わる頂点からの辺の長さ（この場合は１）をＲＰの辺の長さと呼ぶことにする．

　このＲＰ４！＝２４個の体積は１辺の長さ１の正８胞体と等しくなるから，ＲＰの体積は１／２４である．辺の長さを１としたＲＰ２^4＝１６個で１辺の長さ√２の正１６胞体（体積１６／２４＝２／３）ができる．正８胞体の辺の長さを１として，ひとつおきの頂点を結べば１辺の長さ√２の正１６胞体ができるので，これを１６個のＲＰで組立て，その外側に（ひとつおきに）計８個のＲＰを埋めて，合計２４個のＲＰで正８胞体を合成できる（体積は１）．

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【２】正２４胞体

　前述の形では対称性に欠けるので正８，１６，２４胞体が同一のＲＰで組み立てられるのかどうかはよくわからない．しかし，大きさを不問にすれば可能であり，たとえば，１辺の長さ２の正２４胞体を辺の長さ√２のＲＰ１９２個（＝８×２４）で組み立てることができる（体積は（√２）^4／２４×１９２＝３２＝２×２^4）．

　それは胞をなす３次元の正八面体を３次元空間で辺の長さ√２のＲＴ（right tetra：３次元のＲＰ）８個に分解し，それを中心から射影すれば，４次元の中心から３次元胞の中心までの距離が√２で，ちょうど辺の長さ√２の４次元のＲＰができるので，全体で８×２４＝１９２個のＲＰで埋め尽くせることになる．

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【３】まとめ

　１辺の長さ２の正２４胞体が辺の長さ２のＲＰ４８個，あるいは辺の長さ１のＲＰ７６８個で組み立てられるかどうかはよくわからない．また，辺の長さ√２のＲＰ９６個で正８胞体，ＲＰ６４個で正１６胞体が組み立てられるかどうかもよくわからない．多分，不可能であろう．

　高次元の図形は直接眼に見えにくいので直観がきかず，早合点や思い違いをすることが多くある．それだけ十分慎重に検討しないといけないが，［１］＋［２］より，

　　ＲＰ１６個　→　正１６胞体

　　ＲＰ２４個　→　正８胞体

　　ＲＰ１９２個→　正２４胞体

となり「４次元正多胞体の元素数は≦４である」ことが証明されたことになる．

　これで，４次元正多胞体すべてを少数の「素子」で合成しようという，秋山仁先生が数学セミナーの「エレガントな解答をもとむ」に出題された３次元正多面体の問題の４次元版は解決であろう．

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