【１】ｎ次元の立方体

　立方体は８頂点（±１，±１，±１）を結んでできる．３次元の立方体では８個の頂点をひとつおきにとると正四面体ができる．たとえば，その頂点は（１，１，１），（１，−１，−１），（−１，１，−１），（−１，−１，１）の合計４頂点である．

　ひとつの頂点からは（３，２）＝３本のベクトルがでるが，（１，１，１）を中心として他の３頂点と結んだベクトルは（０，−２，−２），（−２，０，−２），（−２，−２，０）であり，互いに６０°で交わる長さ２√２のベクトルとなる．

　正８胞体（４次元超立方体）は１６頂点（±１，±１，±１，±１）を結んでできる．正８胞体の中心からひとつおきの頂点を結んだベクトルをとると，（１，１，１，１），（１，１，−１，−１），（１，−１，１，−１），（１，−１，−１，１），（−１，１，１，−１），（−１，１，−１，１），（−１，−１，１，１），（−１，−１，−１，−１）の合計８頂点が得られる．

　これらは４頂点（１，１，１，１），（１，１，−１，−１），（１，−１，１−，１），（１，−１，−１，１）と中心に対する対称な４頂点の合計８頂点であって，互いに直交する４本の軸上にあるから，正１６胞体をなすことがわかる（４次元空間の特殊性）．すなわち，３次元の立方体では８個の頂点をひとつおきにとると正四面体ができるが，４次元立方体では正１６胞体（４次元の正八面体）ができることになる．ひとつの頂点からは（４，２）＝６本のベクトルがでるが，互いに６０°で交わる長さ２√２のベクトルとなる．

　３次元では正四面体，４次元では正１６胞体になったが，５次元以上の空間では何になるのだろうか？　５次元正１６房体は３２頂点（±１，±１，±１，±１，±１）を結んでできる．５次元正１６房体の中心からひとつおきの頂点を結んだベクトルをとると，（１，１，１，１，１），（１，１，１，−１，−１），（１，１，−１，１，−１），（１，１，−１，−１，１），（１，−１，１，１，−１），（１，−１，１，−１，１），（１，−１，−１，１，１），（−１，１，１，１，−１）（−１，１，１，−１，１）（−１，１，−１，１，１）（−１，−１，１，１，１），（１，−１，−１，−１，−１）（−１，１，−１，−１，−１），（−１，−１，１，−１，−１）（−１，−１，−１，１，−１），（−１，−１，−１，−１，１）の合計１６頂点が得られる．

　（１，１，１，１，１）を中心として，他の頂点と結んだベクトルは（０，０，０，−２，−２），（０，０，−２，０，−２）などとなる．ひとつの頂点からは（５，２）＝１０本のベクトルがでるが，互いに６０°で交わる長さ２√２のベクトルとなる．

　ｎ次元空間の正多胞体（ｎ≧５）は

　　　　　　　　境界胞体　　　　頂点　　　双対性　　対応

（ｎ＋１）胞　　ｎ胞体　　　　　ｎ＋１　　自己双対　正４面体・５胞体

２ｎ胞体　　（２ｎ−２）胞体　　２^n　　　２^n胞体　立方体・８胞体

２^n胞体　　　　ｎ胞体　　　　　２ｎ ２ｎ胞体　正８面体・１６胞体

の３種類だけであるから，５次元以上の空間では正多面体にならず，１種の準正多面体になる．

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【２】ｎ次元の直角三角錐

　任意のｎ次元では

　　（ｎ，０）＋（ｎ，２）＋（ｎ，４）＋・・・

すなわち，ｎが奇数の場合は

　　（ｎ，０）＋（ｎ，２）＋（ｎ，４）＋・・・＋（ｎ，ｎ−１）

ｎが偶数の場合は

　　（ｎ，０）＋（ｎ，２）＋（ｎ，４）＋・・・＋（ｎ，ｎ）

で，いずれの場合も合計２^(n-1)頂点が得られることもおわかりいただけたであろう．

　そこで，ｎ次元直角三角錐の各頂点の座標を

　　（０，０，０，・・・，０）

　　（２，０，０，・・・，０）

　　（０，２，０，・・・，０）

　　（０，０，２，・・・，０）

　　（０，０，０，・・・，２）

とおく．この図形２^n個で１辺の長さ２√２の正２^n胞体ができる．また，この図形ｎ！個の体積は１辺の長さ２の正２ｎ胞体（体積：２^n）と等しくなる．正２ｎ胞体からはこの図形を２^n-1個を取り除いくことができる．

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