今回のコラムでは「対角線を折り曲げて新たな多面体を創る」ためのパラメータを導入して，菱形９０面体の６０枚の白銀菱形を黄金菱形に置き換えて２分割します．もちろんパラメータは連続的に変化させることも可能ですが，ここでは白銀菱形と黄金菱形の場合に限定し，３０枚の黄金２乗菱形がどのように遷移するのか調べてみることにします．

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【１】黄金菱形を長軸で谷折り

　　Ａ（０，０，ｈ＋τ^2／２）

　　Ｂ（１／τ，０，ｈ／２＋τ^2／２）

　　Ｃ（τ／２，τ／２ｔａｎπ／５，τ^2／２）

　　Ｄ（τ／２，−τ／２ｔａｎπ／５，τ^2／２）

に対して，

　　Ｂ（ｍ／τ，０，ｍ（ｈ／２＋τ^2／２））

とパラメトライズします．

　途中の計算は省略しますが，２次方程式

　　ａｍ^2＋ｂｍ＋ｃ＝０

　　ａ＝３５＋７√５

　　ｂ＝−６０−１６√５

　　ｃ＝１０＋１６√５

に帰着されます→解なし．

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【２】黄金菱形を長軸で山折り

　同様に解なしです．解が存在しないことは，計算する前からアタマの中で思い描くことができます．

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【３】黄金菱形を短軸で山折り

　　Ａ（０，０，ｍ（ｈ＋τ^2／２））

　　Ｃ（ｍτ／２，ｍτ／２ｔａｎπ／５，ｍτ^2／２）

　　Ｄ（ｍτ／２，−ｍτ／２ｔａｎπ／５，ｍτ^2／２）

とパラメトライズすると，２次方程式

　　ａｍ^2＋ｂｍ＋ｃ＝０

　　ａ＝１７５−７５√５

　　ｂ＝−１７０＋７０√５

　　ｃ＝３５−１３√５

に帰着されます→解あり（ｍ＝（９＋√５）／１０＝１．１２３６）．

　このとき

　　黄金菱形−黄金菱形間二面角は１４４°

　　黄金菱形内二面角は１４４．２６８°

　　黄金菱形−菱形間二面角は１４２．９５８°

　　菱形内二面角は１４７．８６６°

　　菱形の対角線の長さの比は３．０６１２１

となります．

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【４】黄金菱形を短軸で谷折り

　同様に，解あり（ｍ＝（５＋√５）／１０＝０．７２３６０９）．このとき

　　黄金菱形−黄金菱形間二面角は１４４°

　　黄金菱形内二面角は８３．２６８３°

　　黄金菱形−菱形間二面角は１５４．６０９°

　　菱形内二面角は９０°

　　菱形の対角線の長さの比は２．６７９１２

となります．

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