２次元的にランダムに配列した石鹸の泡はいろいろなサイズの泡細胞からなっていますが，表面張力の要請から境界長を極小化しようとしますから，接合角度は１２０度となります（プラトー問題・最小シュタイナー木問題）．
ｃｏｓθ＝−１／２，θ＝１２０°
このことから，石鹸の泡は各頂点の次数がすべて３である平面図形と考えることができます．
また，互いに１２０°の角度で交わる石鹸膜の交線は
ｃｏｓθ＝−１／３，θ＝１０９．４７１°
で接触します．正四面体の頂点から中心に向かう３枚の膜は互いに１２０°の角度をなし，中心に集まる４本の線は１０９．４７１°（マラルディの角）をなすのです．
このように１２０°と１０９．４７１°は石鹸膜が接触するときの基本的な角度ですが，正三角形ではｃｏｓθ＝−１／２，正四面体ではｃｏｓθ＝−１／３の右辺に現れる分母２，３がそれぞれ平面の次元の２，空間の次元の３と一致することは偶然ではありません．ｎ次元のマラルディの角は
ｃｏｓθ＝−１／ｎ
で与えられるのです．
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【１】ｎ次元正単体の二面角
線分，三角形，四面体（三角錐）はそれぞれ最も簡単な１次元図形，２次元図形，３次元図形であるが，次元数ｎより１つ多い数の頂点によって作られる高次元図形を単体（シンプレックス）と呼ぶ．線分は一次元単体，三角形は二次元単体，三角錐は三次元単体とも呼ばれる所以である．
ｎ次元正単体の頂点の座標を
Ｖ1（１，０，・・・，０）
Ｖ2（０，１，・・・，０）
・・・・・・・・・・・
Ｖn（０，０，・・・，１）
としよう．これらの頂点間距離は√２である．
これらの座標が与えられたとき，残りの１点の座標は
Ｖn+1（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）
とすることができる．他の頂点との距離は√２であるから，
（ｘ−１）^2＋（ｎ−１）ｘ^2＝２
すなわち，
ｎｘ^2−２ｘ−１＝０
を満たさなければならないことより，
ｘ＝｛１−√（１＋ｎ）｝／ｎ
が得られる．
ｎ＋１個の頂点：
Ｖ1（１，０，・・・，０）
Ｖ2（０，１，・・・，０）
・・・・・・・・・・・
Ｖn（０，０，・・・，１）
Ｖn+1（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）
の中心座標（体心）は
Ｐ（（ｘ＋１）／（ｎ＋１），・・・，（ｘ＋１）／（ｎ＋１））
底面
（１，０，・・・，０）
（０，１，・・・，０）
・・・・・・・・・・・
（０，０，・・・，１）
の重心（面心）は
（１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）
それに隣接する面
（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）
（０，１，・・・，０）
・・・・・・・・・・・
（０，０，・・・，１）
の重心（面心）は
（ｘ／ｎ，（ｘ＋１）／ｎ，・・・，（ｘ＋１）／ｎ）
であるから，２つの連接する面心ベクトルは
（１／ｎ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１），１／ｎ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１），・・・，１／ｎ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１））
（ｘ／ｎ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１），（ｘ＋１）／ｎ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１），・・・，（ｘ＋１）／ｎ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１））
より，面心間距離は
ｃｏｓθ＝−１／ｎ
二面角はその補角であるから
ｃｏｓδ＝１／ｎ
と計算される．ｎ＝２以外のときは４直角の整数分の１にならないが，これは正三角形による平面充填形（３，６）に他ならない．
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【２】ｎ次元正単体の双対
［１］では二面角を計算したが，ｎ次元正単体の双対を考えるともっと簡単に二面角を求めることができる．
重心から各頂点までの距離は一定だから
｜ＰＶ1｜＝｜ＰＶ2｜＝・・・＝｜ＰＶn+1｜
ＰＶ1＝（１−（ｘ＋１）／（ｎ＋１），−（ｘ＋１）／（ｎ＋１），・・・，−（ｘ＋１）／（ｎ＋１））
ＰＶn+1＝（ｘ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１），ｘ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１），・・・，ｘ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１），ｘ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１））
｜ＰＶn+1｜＝｜ＰＶ1｜＝｜ＰＶ2｜＝（ｎ／（ｎ＋１））^1/2
としても同じである．
ｃｏｓθ＝（ＰＶ1，ＰＶ2）／｜ＰＶn+1｜^2＝−１／ｎ
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【３】発展問題
ｎ＝３の場合，正四面体の頂点から中心に向かう３枚の膜は互いに１２０°の角度をなした．それでは正ｎ＋１胞体の頂点から中心に向かうｎ枚の膜（胞）が互いになす角度は？という問題を考えてみる．
ｎ＋１個の頂点：
Ｖ1（１，０，・・・，０）
Ｖ2（０，１，・・・，０）
・・・・・・・・・・・
Ｖn（０，０，・・・，１）
Ｖn+1（（ｘ＋１）／（ｎ＋１），・・・，（ｘ＋１）／（ｎ＋１））
の中心座標（体心）は
（（ｘ＋ｎ＋２）／（ｎ＋１）^2，・・・，（ｘ＋ｎ＋２）／（ｎ＋１）^2）
底面に隣接する面
（（ｘ＋１）／（ｎ＋１），（ｘ＋１）／（ｎ＋１），・・・，（ｘ＋１）／（ｎ＋１））
（０，１，・・・，０）
・・・・・・・・・・・
（０，０，・・・，１）
の重心（面心）は
Ｖ1（（ｘ＋１）／ｎ（ｎ＋１），（ｘ＋ｎ＋２）／ｎ（ｎ＋１），・・・，（ｘ＋ｎ＋２）／ｎ（ｎ＋１））
もうひとつの隣接面の重心（面心）は
Ｖ2（（ｘ＋ｎ＋２）／ｎ（ｎ＋１），（ｘ＋１）／ｎ（ｎ＋１），・・・，（ｘ＋ｎ＋２）／ｎ（ｎ＋１））
である．
ここで
（ｘ＋１）／ｎ（ｎ＋１）＝ａ，
（ｘ＋ｎ＋２）／ｎ（ｎ＋１）＝ｂ
とおくと
Ｖ1（ａ，ｂ，ｂ。・・・，ｂ）
Ｖ2（ｂ，ａ，ｂ，・・・，ｂ）
両者に直交するベクトルを構成するため，（１，１，・・・１）上の点を
Ｑ（ｙ，ｙ，・・・，ｙ）
とおくと，
ＱＶ1（ａ−ｙ，ｂ−ｙ，ｂ−ｙ，・・・，ｂ−ｙ）
ＱＶ2（ｂ−ｙ，ａ−ｙ，ｂ−ｙ，・・・，ｂ−ｙ）
ＱＶ1⊥Ｑ，ＱＶ2⊥Ｑより
（ａ−ｙ）ｙ＋（ｎ−１）（ｂ−ｙ）ｙ＝０
ｙ＝（ａ＋（ｎ−１）ｂ）／ｎ
｜ＱＶ1｜＝｜ＱＶ2｜
｜ＱＶ1｜^2＝（ａ−ｙ）^2＋（ｎ−１）（ｂ−ｙ）^2
（ＱＶ1，ＱＶ2）＝２（ａ−ｙ）（ｂ−ｙ）＋（ｎ−２）（ｂ−ｙ）^2
これに（ａ−ｙ）＝−（ｎ−１）（ｂ−ｙ）を代入すると
ｃｏｓθ＝（ＱＶ1，ＱＶ2）／｜ＱＶ1｜^2＝−１／（ｎ−１）
すなわち，ｎ＝３のときは１２０°，ｎ＝４のときは１０９．４７１°となることがわかる．
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