数列｛ａn｝と｛ｂn｝がともに無限大に発散し，差｛ａn−ｂn｝は無限大に発散するが，比｛ａn／ｂn｝は１に近づくという例に，階乗ｎ！とその近似値として使われる公式として有名なスターリングの公式：
ｎ！〜√（２πｎ）ｎ^nｅｘｐ（−ｎ）
があります．
”〜”記号は漸近的に等しい，すなわちｎが十分大きいとき両者の比が１に近づくという意味であって，両者の差がなくなるという意味ではありません．いいかえれば，この近似式の絶対誤差はｎの増大とともに増大するが，相対誤差は減少する，つまり，左辺と右辺の比はｎを∞にすると極限が存在して０でも無限大でもなく，１に収束するということです．スターリングの公式ではｎが大きくなるほど相対誤差は小さくなります．
スターリングの公式にはπが出現しますが，この公式は２項分布の正規分布への収束を示すド・モアブル=ラプラスの定理の証明などに用いられます．この定理は中心極限定理の特別な場合に相当しています．
スターリングの公式の初等的証明については，黒川信重（数学セミナー，１９７２年６月号）などにも掲載されているそうですが，今回のコラムではいくつかの初等的証明を紹介します．
［参］砂田利一「ダイヤモンドはなぜ美しい？」シュプリンガー・ジャパン
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【１】スターリングの公式の誘導
スターリングの公式を誘導してみましょう．
ｌｏｇｎ！＝ｌｏｇ１＋ｌｏｇ２＋・・・＋ｌｏｇｘ＝Σｌｏｇｘ
ここで，ｙ＝ｌｏｇｘのグラフを幅が１の長方形に分割していくと，ｘが十分大きければ相対的に和の間隔が小さくなるので，和は積分に置き換えられます．
Σｌｏｇｘ≒∫(1,x)ｌｏｇｔｄｔ
ｌｏｇｘの原始関数は置換積分よりｘｌｏｇｘ−ｘ＋Ｃと計算されますから，右辺はｘｌｏｇｘ−ｘ＋１となります．したがって，
ｎ！≒ｅｎ^nｅｘｐ（−ｎ）
が得られます．
ｌｏｇｎ！＝ｎｌｏｇｎ−ｎ＋ｏ（ｎ）
ただし，ｌｉｍｏ（ｎ）／ｎ＝０
としても大体了解されますが，もっと正確に近似すると
∫(0,n)ｌｏｇｔｄｔ<ｌｏｇｎ！<∫(1,n+1)ｌｏｇｔｄｔ
より
ｎｌｏｇｎ−ｎ<ｌｏｇｎ！<（ｎ＋１）ｌｏｇ（ｎ＋１）−ｎ
したがって，両辺の相加平均に近い（ｎ＋１／２）ｌｏｇｎ−ｎでｌｏｇｎ！を近似できることになり，
∫(1,x)ｌｏｇｔｄｔ
＝ｌｏｇ１＋ｌｏｇ２＋・・・＋ｌｏｇｘ−１／２ｌｏｇｘ＋δ
であること，また，ウォリスの公式：
√π〜（ｎ！）^2２^2n／（２ｎ）！√ｎ
より，結局，
ｎ！〜√（２πｎ）ｎ^nｅｘｐ（−ｎ）
にたどりつきます．
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スターリングの近似公式は階乗の一般化であるガンマ関数の近似値としても使われています．
Γ（ｘ＋１）＝∫ｅｘｐ（−ｔ）ｔ^xｄｔ〜√（２πｘ）ｘ^xｅｘｐ（−ｘ）
近似の程度を進めると
Γ（ｘ＋１）〜√（２πｘ）ｘ^xｅｘｐ{-x[1+1/(12x)+1/(288x^2)-139/(51840x^3)-.....}
が得られます．これらの公式ではｘが大きくなるほど相対誤差は小さくなります．
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【２】別証
（Ｑ）任意の自然数ｎに対して
ｎ！＝√（２πｎ）ｎ^nｅｘｐ（−ｎ）ｅｘｐ（θ／１２ｎ）
を満たす０≦θ≦１が存在することを証明せよ．
（Ａ）ｆ（ｘ）＝（１／２）ｌｏｇ（１＋ｘ）／（１−ｘ）−ｘ
とおく（０≦ｘ≦１）．
ｆ（０）＝０
ｆ’（ｘ）＝ｘ^2／（１−ｘ^2）＞０
さらに，
ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）−ｘ^3／３（１−ｘ^2）
とおけば，
ｇ（０）＝０
ｇ’（ｘ）＝−２ｘ^4／３（１−ｘ^2）^2＜０
よって，
０≦（１／２）ｌｏｇ（１＋ｘ）／（１−ｘ）−ｘ≦ｘ^3／３（１−ｘ^2）
が成り立つ．ｘ＝１／（２ｎ＋１）を代入すると
０≦（ｎ＋１／２）ｌｏｇ（ｎ＋１）／ｎ−１≦１／１２（１／ｎ−１／（ｎ＋１））
ａn＝ｎ^(n+1/2)exp(-n)/n!,ｂn＝ａnexp(1/12n)，ａn<ｂnとおくと
ｌｏｇａn+1／ａn≧０よりａn+1≧ａn
ｌｏｇｂn+1／ｂn≦０よりｂn+1≦ｂn
よって
ｃｎ^(n+1/2)ｅｘｐ（−ｎ）≦ｎ！≦ｃｎ^(n+1/2)ｅｘｐ（−ｎ）ｅｘｐ（１／１２ｎ）
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【３】ウォリスの公式
さらに，ウォリスの公式より，ｃ＝√２πが示される．
（証） 1/2B(1/2,(n+1)/2)=∫(0,π/2)(sinθ)^ndθ
この値をＳnとおくと，部分積分により漸化式
Ｓn=(n-1)/nＳn-2
が得られるから，
n=2k（偶数）なら1･3･･･(2k-1)/2･4･･･(2k)*π/2
n=2k+1（奇数）なら2･4･･･(2k)/1･3･･･(2k+1)
これより
ｌｉｍ1･3･･･(2k-1)/2･4･･･(2k)*√(k)=1/√(π)
変形するとウォリスの公式
(2n)!/(2^nn!)^2√(n)=1/√(π)
が得られる．
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