（その２２）において，４次元正多胞体の元素数は４であると予想されることを述べた．

　ところで，元素数の決定にあたって以前から引っかかっていたのが「境界多面体」の問題である．たとえば，４次元空間の正多胞体では「二胞角」の問題より≧２と下限が与えられるが，胞となる境界多面体は正５・１６・６００胞体では正４面体，正８胞体では立方体，正２４胞体では正８面体，正１２０胞体では正１２面体となっているからである．

　　　　　　境界多面体　境界面ｐ　頂点に集まる面ｑ　辺に集まる胞ｒ

５胞体　　　正４面体　　　　３　　　　　　　　３　　　　　　　３

８胞体　　　立方体　　　　　４　　　　　　　　３　　　　　　　３

１６胞体　　正４面体　　　　３　　　　　　　　３　　　　　　　４

２４胞体　　正８面体　　　　３　　　　　　　　４　　　　　　　３

１２０胞体　正１２面体　　　５　　　　　　　　３　　　　　　　３

６００胞体　正４面体　　　　３　　　　　　　　３　　　　　　　５

　二胞角についての独立性に加えて，境界多面体の二面角についての独立性を調べてみると，

　　　　　　二胞角　　　二面角　　　二辺角

５胞体　　　　Ａ　　　　　Ｃ　　　　　Ｆ

８胞体　　　　Ｂ　　　　　Ｄ　　　　　Ｆ

１６胞体　　　Ｂ　　　　　Ｃ　　　　　Ｆ

２４胞体　　　Ｂ　　　　　Ｃ　　　　　Ｆ

１２０胞体　　Ｂ　　　　　Ｅ　　　　　Ｆ

６００胞体　　Ａ　　　　　Ｃ　　　　　Ｆ

となって４種類の組み合わせができる．

［注］正５胞体と正６００胞体の不変量は等しいが，正５胞体と正６００胞体が分解合同であるという意味ではなく，両者を合わせると正８胞体と分解合同になると解釈する．

　ｎ次元空間の正多胞体（ｎ≧５）では

　　　　　　　　境界胞体　　　　頂点　　　双対性　　対応

（ｎ＋１）胞　　ｎ胞体　　　　　ｎ＋１　　自己双対　正４面体・５胞体

２ｎ胞体　　（２ｎ−２）胞体　　２^n　　　２^n胞体　立方体・８胞体

２^n胞体　　　　ｎ胞体　　　　　２ｎ ２ｎ胞体　正８面体・１６胞体

であるから

　　　　　　二胞角　　　二面角　　・・・　二辺角

　　　　　ｎ−１次元　ｎ−２次元　・・・　１次元

ｎ＋１胞体　　Ａ　　　　　Ｄ　　　・・・　　Ｚ

２ｎ胞体 　　Ｂ　　　　　Ｅ　　　・・・　　Ｚ

２^n胞体　　　Ｃ　　　　　Ｄ　　　・・・　　Ｚ

となって３種類の組み合わせができる．

　逆に，３次元正多面体の場合は

　　　　　　二面角　　　二辺角

４面体　　　　Ａ　　　　　Ｅ

６面体　　　　Ｂ　　　　　Ｅ

８面体　　　　Ａ　　　　　Ｅ

１２面体　　　Ｃ　　　　　Ｅ

２０胞体　　　Ｄ　　　　　Ｅ

となって４種類の組み合わせができる．

　任意の多角形は同じ面積の正方形と分解合同である（ボヤイ・ゲルビンの定理）を１次元デーン不変量に関する定理とみなすことにして，任意の次元において超立方体と分解合同であるかどうかを示す不変量を

　　ｎ次元デーン不変量＝ｆ（ｎ−１次元デーン不変量，ｎ−２次元デーン不変量，・・・，１次元デーン不変量）

と定義すれば，すべての次元で正多胞体と元素数との辻褄が合い，

　　［予想］４次元正多胞体の元素数は４である．

は正しいことになる．

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［雑感］

　この結果は３次元空間でなくとも，一般の次元の空間の多胞体領域の「二胞角」とその境界の「二面角」を統一することによって，これまで得られた３次元空間の元素定理に抵触しない統一的な見方ができることを意味している．実際に考えるべき二面角は４次元の場合だけがｎ−２次元までであって，他の次元ではｎ−１次元だけ（すなわち二胞角だけ）で十分である．ここに至って初めて，各次元での元素定理は統一的に理解されたといえるのである．

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